حل السؤال 9، 0606/23 مايو/يونيو 2026: حجم المنشور
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 · Paper 23 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منشور مقطعه مربع فوقه مثلث متساوي الأضلاع، وطول كل ضلع في المقطع هو السين، وطول المنشور الصاد. الحجم معطى. المطلوب «بيّن أن» المساحة الكلية تساوي الصيغة المعطاة بدلالة السين فقط.
كيف تحلّه؟
احسب مساحة المقطع: مساحة المربع زائد مساحة المثلث متساوي الأضلاع. ساوِ المقطع في الطول بالحجم المعطى لتعبّر عن الصاد بدلالة السين. المساحة الكلية هي ضعف المقطع زائد الأوجه المستطيلة، ومساحتها محيط المقطع في الطول. عوّض الصاد. الفخ: عدّ ستة أوجه مستطيلة، والمحيط فيه خمسة أضلاع فقط.
- 1Cross-section area = x² + (√3/4)x² = x²(1 + √3/4)
- 2Volume: x²(1 + √3/4)y = 250(1 + √3/4) ⇒ y = 250/x²
- 3Perimeter of cross-section = 5x, so the rectangular faces have area 5xy
- 4A = 2x²(1 + √3/4) + 5xy = (2 + √3/2)x² + 5x × 250/x²
- 5A = (2 + √3/2)x² + 1250/x
AnswerA = (2 + √3/2)x² + 1250/x shown
الجزء (bi) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المنشور نفسه، طول ضلع المقطع السين متغير، والمساحة الكلية معطاة بالصيغة التي أثبتّها. المطلوب أصغر قيمة ممكنة للمساحة الكلية.
كيف تحلّه؟
اشتق المساحة بالنسبة للسين، وساوِ المشتقة بالصفر لتحصل على قيمة السين مكعبة، ثم خذ الجذر التكعيبي. عوّض بهذه القيمة في صيغة المساحة. الخطأ الشائع: إعطاء قيمة السين على أنها الإجابة بدل قيمة المساحة.
- 1dA/dx = (4 + √3)x − 1250/x²
- 2dA/dx = 0 ⇒ x³ = 1250/(4 + √3) = 218.07
- 3x = 6.019
- 4A = (2 + √3/2)(6.019)² + 1250/6.019 = 311.5 ≈ 312
Answer312 cm² (311.5)
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب استخدام المشتقة الثانية للمساحة الكلية بالنسبة للسين لتبيّن أن القيمة التي وجدتها في الجزء السابق قيمة صغرى لا عظمى.
كيف تحلّه؟
اشتق مرة ثانية، ثم عوّض بقيمة السين التي وجدتها. إذا كانت المشتقة الثانية موجبة فالنقطة صغرى، واكتب هذا الاستنتاج صراحة. الفخ: التعويض دون ذكر الإشارة والاستنتاج.
- 1d²A/dx² = (4 + √3) + 2500/x³
- 2At x = 6.019: d²A/dx² ≈ 5.73 + 11.46 = 17.2
- 3d²A/dx² > 0, so A is a minimum
Answerd²A/dx² = (4 + √3) + 2500/x³ ≈ 17.2 > 0 at x = 6.02, so minimum
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم المنشور بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم المنشور
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara