حل السؤال 10، 4024/22 مايو/يونيو 2020: حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مستطيل معطى طولاه، ورأسه فوق نقطة تقاطع القطرين، ومعطى طول حافة مائلة من الرأس إلى ركن القاعدة. المطلوب: أثبت أن ارتفاع الهرم يساوي القيمة المعطاة مقرَّبة لمنزلة عشرية واحدة. «أثبت أن» تعني إظهار كل خطوة وكتابة الناتج بدقة أكبر قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
احسب قطر القاعدة المستطيلة بنظرية فيثاغورس ثم خذ نصفه، وهو المسافة من المركز إلى الركن. الارتفاع والنصف والحافة المائلة تكوِّن مثلثًا قائمًا وتره الحافة المائلة. اطرح مربع نصف القطر من مربع الحافة ثم خذ الجذر، واكتب الناتج بأكثر من منزلة قبل تقريبه. الخطأ الشائع هو استخدام القطر كاملًا.
- 1AC² = 10² + 6² = 136, so AC = √136
- 2FC = 1/2 × √136 = √34
- 3EF² + FC² = EC²: EF² = 12² − 34 = 110
- 4EF = √110 = 10.488… = 10.5 cm (1 d.p.)
Answer10.49 or 10.488…
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مستطيلة معلوم بُعداها، ورأسه فوق نقطة تقاطع القطرين، وطول أحد الأحرف المائلة معلوم. المطلوب إيجاد حجم الهرم، والقانون مكتوب لك.
كيف تحلّه؟
الارتفاع غير معطى، فنجده على مرحلتين بنظرية فيثاغورس: أولًا نحسب قطر القاعدة من بُعديها ونأخذ نصفه، ثم نستخدم الحرف المائل ونصف القطر لإيجاد الارتفاع العمودي. بعدها الحجم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. الخطأ الشائع: استخدام القطر كاملًا بدل نصفه، أو استخدام الحرف المائل ارتفاعًا.
- 1Diagonal AC = √(10² + 6²) = √136 = 11.66… cm
- 2F is the midpoint of AC, so FC = 11.66… ÷ 2 = 5.83… cm
- 3Height EF = √(12² − 5.83…²) = √(144 − 34) = √110 = 10.49… cm
- 4Volume = 1/3 × 6 × 10 × 10.49… = 209.76… ≈ 210 cm³
Answer210 or 209.7 to 209.8
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قاعدته مستطيلة ورأسه فوق مركز القاعدة تمامًا، ونعرف بُعدي القاعدة وطول أحد الأحرف المائلة. المطلوب حساب الزاوية عند رأس الهرم في أحد الأوجه المثلثة.
كيف تحلّه؟
لأن الرأس فوق المركز تمامًا، تكون الأحرف المائلة الأربعة متساوية، فالوجه المثلث متساوي الساقين ونعرف أضلاعه الثلاثة. نستعمل قاعدة جيب التمام لإيجاد الزاوية المقابلة لضلع القاعدة. ويمكن أيضًا تنصيف المثلث إلى مثلثين قائمين واستعمال الجيب. الفخ الشائع: اختيار ضلع القاعدة الخطأ من بُعدي المستطيل.
- 1E is directly above F, the centre of the base, so ED = EC = 12 cm
- 2Cosine rule in triangle DEC: cos DEC = (12² + 12² − 6²)/(2 × 12 × 12)
- 3cos DEC = 252/288 = 0.875
- 4Angle DEC = 28.955… = 29.0°
Answer29.0 or 28.95 to 28.96
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حساب مساحة الوجه المثلث نفسه الذي في الجزء السابق، وهو مثلث متساوي الساقين نعرف أضلاعه الثلاثة.
كيف تحلّه؟
نُسقط ارتفاعًا من رأس الهرم إلى منتصف ضلع القاعدة، فنحصل على مثلث قائم. نجد الارتفاع بفيثاغورس من الحرف المائل ونصف القاعدة، ثم المساحة نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع. ويمكن بدلًا من ذلك استعمال نصف حاصل ضرب الضلعين المتساويين في جيب زاوية الرأس من الجزء السابق. الفخ الشائع: استعمال ارتفاع الهرم العمودي بدل ارتفاع الوجه المائل.
- 1DE = EC = 12 cm, so triangle DEC is isosceles with base DC = 6 cm.
- 2The height from E meets DC at its midpoint, 3 cm from D.
- 3Height = √(12² − 3²) = √135 = 11.62… cm
- 4Area = 1/2 × 6 × 11.62… = 34.86 ≈ 34.9 cm²
Answer34.9 or 34.85 to 34.86
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara