حل السؤال 25، 4024/11 مايو/يونيو 2022: البراهين المتجهية
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 11 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
في مثلث، نقطة هي منتصف أحد أضلاعه، ومعطى المتجه من رأس المثلث إلى هذا المنتصف. المطلوب «عبّر» أي اكتب متجه الضلع كله بدلالة المتجهين الأساسيين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
بما أن النقطة منتصف الضلع، فالضلع كله ضعف المتجه من الرأس إلى المنتصف. اضرب كل حد في اثنين.
- 1AC = 2 × AB = 2(6a + 3b)
- 2= 12a + 6b
Answer12a + 6b or 6(2a + b)
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نفس المثلث، ومعطى أيضًا متجه الضلع الثالث في اتجاه معين. المطلوب متجه الضلع الثاني الخارج من نفس الرأس، بدلالة المتجهين الأساسيين وفي أبسط صورة. اعرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
امشِ من الرأس على الضلع الأول كله (الذي وجدته في الجزء السابق)، ثم انتقل على الضلع الثالث. لاحظ أن اتجاه سيرك عكس اتجاه المتجه المعطى، فتطرحه بدل أن تجمعه. اجمع الحدود المتشابهة. الفخ الشائع: جمع المتجه المعطى دون عكس إشارته.
- 1B is the midpoint of AC, so AC = 2 × AB = 12a + 6b.
- 2AD = AC + CD, and CD = −DC = −5a − 2b.
- 3AD = 12a + 6b − 5a − 2b = 7a + 4b
Answer7a + 4b
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث، نقطتان هما منتصفا ضلعين، ومعطى متجهان على ضلعين بدلالة رمزين. المطلوب «أثبت» أن المتجه بين المنتصفين يوازي أحد المتجهين المعطيين، مع خطوات تبرهن ذلك.
كيف تحلّه؟
نكتب أولًا متجه الضلع الكامل الذي عليه المنتصف الأول، فهو ضعف المتجه المعطى عليه. نكتب متجه الضلع الثالث بالسير على الضلع الكامل ثم عكس المتجه الآخر. ثم نكتب المتجه بين المنتصفين بالسير من المنتصف إلى الرأس المشترك ثم إلى المنتصف الآخر. نخرج عاملًا مشتركًا فيظهر أنه مضاعف للمتجه المطلوب، فهما متوازيان.
- 1AD = AC + CD = (12a + 6b) − (5a + 2b) = 7a + 4b
- 2E is the midpoint of AD, so EA = −(1/2)AD = −3.5a − 2b
- 3EB = EA + AB = −3.5a − 2b + 6a + 3b = 2.5a + b
- 42.5a + b = (1/2)(5a + 2b), so EB = (1/2)DC
- 5→EB = 2.5a + b, a multiple of →DC, so EB is parallel to DC
Answer→EB = 2.5a + b →EB is parallel to →DC because →EB = k→DC
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس البراهين المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة البراهين المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara