حل السؤال 23، 4024/11 أكتوبر/نوفمبر 2022: حجم ومساحة سطح المخروط
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 11 (Non-calculator) · بدون آلة حاسبة · 7 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مخروط مصمت نصف قطره مجهول (سنسمّيه «س»)، وارتفاعه المائل أكبر من نصف قطره بنسبة الربع. كرة نصف قطرها مجهول آخر، ومساحة سطحها تساوي المساحة الكلية لسطح المخروط. المطلوب أن تثبت العلاقة المعطاة بين نصفَي القطرين، أي أن تصل إليها بالجبر خطوة خطوة.
كيف تحلّه؟
اكتب الارتفاع المائل بدلالة «س»: زيادة الربع تعني ضرب نصف القطر في واحد وربع. المساحة الكلية للمخروط هي المساحة الجانبية مضافًا إليها القاعدة الدائرية. ساوِها بمساحة سطح الكرة، واحذف «ط»، ثم اجمع الحدود المتشابهة وحل لإيجاد مربع «س» ثم خذ الجذر. الخطأ الشائع نسيان مساحة القاعدة، لأن المطلوب المساحة الكلية لا الجانبية فقط.
- 1l = 1.25y = 5y/4
- 2Cone total surface area = πy × 5y/4 + πy² = 5πy²/4 + πy² = 9πy²/4
- 34πR² = 9πy²/4 → y² = 16R²/9
- 4y = 4R/3
Answer4πR² = (5πy²)/4 + πy², completion to y = (4R)/3 with no errors
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مخروط مصمت نصف قطره مجهول، وراسمه أكبر من نصف القطر بربع قيمته. وكرة مصمتة نصف قطرها مجهول آخر، ومساحة سطحها تساوي المساحة الكلية لسطح المخروط. المطلوب كتابة حجم المخروط بدلالة نصف قطر الكرة فقط، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
اكتب الراسم بدلالة نصف قطر المخروط، وأوجد الارتفاع بنظرية فيثاغورس بدلالته أيضًا. ساوِ المساحة الكلية للمخروط (المنحنية مع القاعدة) بمساحة سطح الكرة، لتعبّر عن نصف قطر المخروط بدلالة نصف قطر الكرة. عوّض في صيغة حجم المخروط وبسّط. الخطأ الشائع: نسيان القاعدة في المساحة الكلية.
- 1h² + y² = (5y/4)² → h² = 9y²/16 → h = 3y/4
- 2h = 3/4 × 4R/3 = R
- 3V = 1/3 × π × (4R/3)² × R = 1/3 × π × 16R²/9 × R
- 4= 16πR³/27
Answer(16πR³)/27
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم ومساحة سطح المخروط بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم ومساحة سطح المخروط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara