حل السؤال 8، 4024/22 أكتوبر/نوفمبر 2021: حجم ومساحة سطح المخروط
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كوب ورقي على شكل مخروط، معلوم قطر فتحته وحجمه. «أثبت أن» تعني أن قيمة ارتفاع الكوب معطاة مقرّبة لمنزلتين عشريتين، والمطلوب كتابة الخطوات حتى تصل إليها. صيغة الحجم معطاة.
كيف تحلّه؟
خذ نصف القطر من القطر. عوّض نصف القطر والحجم في صيغة حجم المخروط، واجعل الارتفاع وحده بالضرب في ثلاثة والقسمة على بقية العوامل. اكتب الناتج بأرقام أكثر ثم قرّبه. الخطأ الشائع: التعويض بالقطر بدل نصف القطر.
- 11/3 × π × 3.5² × h = 110
- 2h = (3 × 110)/(π × 3.5²) = 330/38.48…
- 3h = 8.574… = 8.57 to 2 d.p.
Answer(3 × 110)/(π × 3.5²) = 8.573 to 8.574…
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
كوب ورقي على شكل مخروط، معطى قطر فتحته وحجمه. المطلوب «احسب» الارتفاع الجانبي المائل للمخروط. لاحظ أن الارتفاع الرأسي غير معطى، والقوانين مطبوعة فوق السؤال.
كيف تحلّه؟
أولًا نصف القطر هو نصف القطر الكامل. عوّض في قانون حجم المخروط واجعل الارتفاع الرأسي موضوع القانون. ثم نصف القطر والارتفاع الرأسي والارتفاع المائل تكوّن مثلثًا قائمًا وتره الارتفاع المائل، فطبّق فيثاغورس. الفخ: استخدام القطر كاملًا بدل نصفه في قانون الحجم.
- 1Radius = 7 ÷ 2 = 3.5 cm
- 2110 = 1/3 × π × 3.5² × h, so h = 8.57… cm
- 3l² = 3.5² + 8.57…² = 85.78…
- 4l = √85.78… = 9.26 cm
Answer9.26 or 9.256 to 9.262
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يُقص الكوب المخروطي على طول راسمه ويُفرد ليصبح قطاعًا دائريًا. معطى قطر الفتحة والارتفاع والراسم. المطلوب حساب زاوية القطاع.
كيف تحلّه؟
نصف قطر القطاع هو راسم المخروط. طول قوس القطاع يساوي محيط فتحة الكوب. اكتب طول القوس كجزء من محيط دائرة نصف قطرها الراسم، بنسبة الزاوية إلى الزاوية الكاملة، وساوِه بمحيط الفتحة، ثم حلّ لإيجاد الزاوية. الخطأ الشائع: استعمال الارتفاع العمودي نصفَ قطرٍ للقطاع.
- 1Slant height OA = √(3.5² + 8.57²) = 9.26 cm (height 8.57 cm from part a)
- 2Arc length of sector = circumference of cup top = π × 7
- 3x/360 × 2 × π × 9.26 = π × 7
- 4x = (360 × 7) ÷ (2 × 9.26) = 135.7 to 136.1…
Answer135.7 to 136.1…
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
كوبان ورقيان مخروطيان متشابهان رياضيًا. أُعطي حجم كل منهما وقطر فوهة الكوب الأول. المطلوب حساب قطر فوهة الكوب الثاني مع إظهار الحل.
كيف تحلّه؟
اقسم حجم الكوب الثاني على حجم الأول لتحصل على معامل الحجم. خذ الجذر التكعيبي لتحصل على معامل الأطوال، ثم اضرب قطر الكوب الأول فيه. لا حاجة إلى قانون حجم المخروط هنا. الفخ: أخذ الجذر التربيعي بدل التكعيبي.
- 1Volume scale factor = 165/110 = 1.5
- 2Length scale factor = ∛1.5 = 1.1447…
- 3Diameter = 7 × 1.1447… = 8.01… cm
Answer8.01...
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم ومساحة سطح المخروط بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم ومساحة سطح المخروط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara