حل السؤال 8، 4024/22 مايو/يونيو 2024: المحيط والمساحة والحجم المركب
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 22 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجسم مكوّن من مخروط فوق نصف كرة، لهما نصف القطر نفسه، ومعطاة المساحة المنحنية لنصف الكرة. «أثبت أن» تعني أن قيمة نصف القطر معطاة مقرّبة لمنزلتين عشريتين، والمطلوب كتابة الخطوات حتى تصل إليها.
كيف تحلّه؟
المساحة المنحنية لنصف الكرة نصف مساحة سطح الكرة الكاملة. اكتبها بدلالة نصف القطر وساوِها بالقيمة المعطاة، ثم أوجد مربع نصف القطر وخذ الجذر. اكتب الناتج بأرقام أكثر قبل التقريب. الخطأ الشائع: استعمال مساحة الكرة كاملة أو إضافة الدائرة المسطحة.
- 1Curved surface of hemisphere = 1/2 × 4πr² = 2πr²
- 22πr² = 145, so r² = 145/(2π) = 23.07…
- 3r = 4.803… = 4.80 (2 d.p.)
Answerr = 4.803 to 4.804
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجسم مكوّن من مخروط فوق نصف كرة لهما نصف القطر نفسه، والارتفاع الكلي معطى، ومساحة السطح المنحني لنصف الكرة معطاة. المطلوب حساب حجم المجسم، والقوانين اللازمة معطاة في أعلى السؤال.
كيف تحلّه؟
أوجد نصف القطر أولًا: مساحة السطح المنحني لنصف الكرة نصف مساحة سطح الكرة، فساوِها بالقيمة المعطاة وحل (أو استعمل ما وجدته في الجزء السابق). ارتفاع المخروط هو الارتفاع الكلي مطروحًا منه نصف القطر، لأن ارتفاع نصف الكرة يساوي نصف قطرها. احسب حجم المخروط وحجم نصف الكرة واجمعهما. الخطأ الشائع اعتبار الارتفاع الكلي ارتفاعًا للمخروط.
- 1Height of cone = 10 − 4.8 = 5.2 cm
- 2Cone: 1/3 × π × 4.8² × 5.2 = 125.4…
- 3Hemisphere: 1/2 × 4/3 × π × 4.8³ = 231.6…
- 4Volume = 357.08… ≈ 357 cm³
Answer357 to 358
الجزء (aiii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لنفس المجسم، المطلوب حساب المساحة المنحنية للمخروط. صيغة المساحة المنحنية معطاة وتحتاج إلى الراسم، وهو غير معطى.
كيف تحلّه؟
ارتفاع المخروط هو ارتفاع المجسم الكلي ناقص نصف القطر، لأن ارتفاع نصف الكرة يساوي نصف قطرها. أوجد الراسم بنظرية فيثاغورس من نصف القطر وارتفاع المخروط. عوّض في صيغة المساحة المنحنية. الخطأ الشائع: أخذ ارتفاع المجسم كله ارتفاعًا للمخروط.
- 1Slant height l = √(4.8² + 5.2²) = √50.08 = 7.076…
- 2Curved surface area = π × 4.8 × 7.076…
- 3= 106.7… ≈ 107 cm²
Answer107 or 106.7 to 106.8…
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
قطاعان: زاوية الثاني أصغر من زاوية الأول بنسبة مئوية معلومة، ونصف قطره أطول من نصف قطر الأول بنسبة مئوية معلومة. المطلوب حساب مساحة القطاع الثاني كنسبة مئوية من مساحة القطاع الأول.
كيف تحلّه؟
نحوّل كل تغيير إلى معامل ضرب: النقصان يعني الضرب في عدد أقل من الواحد، والزيادة تعني الضرب في عدد أكبر من الواحد. مساحة القطاع تتناسب مع الزاوية ومع مربع نصف القطر، فنضرب معامل الزاوية في مربع معامل نصف القطر، ثم نحوّل الناتج إلى نسبة مئوية. الخطأ الشائع: عدم تربيع معامل نصف القطر، أو ظن أن الزيادة والنقصان المتساويين يلغي أحدهما الآخر.
- 1Angle of B = 0.8x, radius of B = 1.2y
- 2Area B = 0.8x/360 × π(1.2y)² = 0.8 × 1.44 × (x/360 × πy²)
- 30.8 × 1.2² = 1.152
- 4Area B = 115.2% of area A
Answer115.2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المحيط والمساحة والحجم المركب بالعربي
تدرّب على أسئلة المحيط والمساحة والحجم المركب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara