حل السؤال 10، 4024/21 أكتوبر/نوفمبر 2024: تكوين المعادلات
Cambridge O Level Mathematics 4024 · Paper 21 (Calculator) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الكيس الأول كرات حمراء وخضراء، عددها الكلي هو المجهول، والخضراء تزيد على الحمراء بعدد معلوم. المطلوب أن «تُثبت» أن كسر الكرات الحمراء يساوي العبارة المعطاة، بإظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
سمِّ عدد الكرات الحمراء، واكتب الخضراء بإضافة الزيادة إليه. مجموعهما يساوي العدد الكلي، فحلّ لتجد عدد الحمراء بدلالة المجهول. الكسر هو عدد الحمراء مقسومًا على العدد الكلي، ثم بسّط الكسر المركب. الفخ: قسمة عدد الحمراء على عدد الخضراء بدل العدد الكلي.
- 1Let r = number of red balls, so green = r + 6
- 2r + r + 6 = x, so 2r = x − 6, r = (x − 6)/2
- 3Fraction red = r/x = (x − 6)/2 ÷ x = (x − 6)/(2x)
Answerr + r + 6 = x, so r = (x − 6)/2, leading to fraction red = (x − 6)/(2x)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الكيس الثاني عدد الكرات الحمراء هو المجهول، والخضراء أمثال عدد الخضراء في الكيس الأول. المطلوب أن «تُثبت» أن كسر الكرات الحمراء في الكيس الثاني يساوي العبارة المعطاة.
كيف تحلّه؟
أوجد عدد الخضراء في الكيس الأول بطرح عدد الحمراء من العدد الكلي. اضربه في المضاعف لتحصل على الخضراء في الكيس الثاني، ثم أضف الحمراء لتجد العدد الكلي فيه. الكسر هو عدد الحمراء على العدد الكلي. الفخ: استعمال عدد الحمراء في الكيس الأول بدل الخضراء.
- 1Green in A = x − (x − 6)/2 = x/2 + 3
- 2Green in B = 4(x/2 + 3) = 2x + 12
- 3Total in B = x + 2x + 12 = 3x + 12
- 4Fraction red in B = x/(3x + 12)
Answergreen in A = x/2 + 3; total in B = x + 4(x/2 + 3), leading to fraction red = x/(3x + 12)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك معادلة طرفاها الكسران من الجزأين السابقين. عبارة «أثبت أن» تعني أن الصورة النهائية معطاة، والمطلوب أن تُظهر كل خطوة توصلك إليها.
كيف تحلّه؟
بما أن كل طرف كسر واحد، اضرب ضربًا تبادليًا: البسط الأول في المقام الثاني يساوي البسط الثاني في المقام الأول. فكّ الأقواس وانقل كل الحدود إلى طرف واحد واجمع الحدود المتشابهة. الفخ: أخطاء الإشارات عند ضرب القوسين.
- 1(x − 6)(3x + 12) = 2x × x
- 23x² + 12x − 18x − 72 = 2x²
- 33x² − 6x − 72 − 2x² = 0
- 4x² − 6x − 72 = 0
Answer(x − 6)(3x + 12) = 2x², 3x² − 18x + 12x − 72 = 2x², correct rearrangement to x² − 6x − 72 = 0
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حلّ المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى عاملين، أي اكتبها على صورة حاصل ضرب قوسين يساوي صفرًا، ثم أوجد قيمتي س.
كيف تحلّه؟
ابحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي الحد الثابت ومجموعهما يساوي معامل س، واكتب المعادلة كحاصل ضرب قوسين. اجعل كل قوس يساوي صفرًا وحلّه. انتبه للإشارات: إشارة الحل عكس إشارة العدد داخل القوس.
- 1x² − 6x − 72 = (x − 12)(x + 6) = 0
- 2x = 12 or x = −6
Answer12, −6
الجزء (e) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك حلّا المعادلة من الجزء السابق، والمجهول هو العدد الكلي للكرات في الكيس الأول. المطلوب «أوجد» عدد الكرات الخضراء في الكيس الأول، لا العدد الكلي.
كيف تحلّه؟
اختر الحل الموجب لأن عدد الكرات لا يكون سالبًا. عوّض في عبارة عدد الكرات الحمراء، ثم أضف الزيادة لتحصل على عدد الخضراء. الفخ: تقديم العدد الكلي أو عدد الحمراء على أنه الإجابة.
- 1Part (d): x² − 6x − 72 = 0 factorises to (x − 12)(x + 6) = 0
- 2x cannot be negative, so x = 12
- 3Red = (12 − 6)/2 = 3, so green = 3 + 6 = 9
Answer9
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تكوين المعادلات بالعربي
تدرّب على أسئلة تكوين المعادلات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara