حل السؤال 9، 4PM1/01R يناير 2020: طول قطعة مستقيمة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
خط مستقيم معادلته معطاة، ويمر بنقطتين: الأولى إحداثيها الصادي ستة والسيني مجهول، والثانية إحداثيها السيني ثلاثة والصادي مجهول. المطلوب القيمتان المجهولتان.
كيف تحلّه؟
وقوع النقطة على الخط يعني أن إحداثييها يحققان معادلته. عوّض بالإحداثي المعلوم لكل نقطة في المعادلة، فتحصل على معادلة بسيطة في مجهول واحد، ثم حلّها. الخطأ الشائع: التعويض بالإحداثي في مكان المتغير الآخر.
- 16 + 2a − 4 = 0, so a = −1
- 2b + 6 − 4 = 0, so b = −2
Answera = −1, b = −2
الجزء (b) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خط ثانٍ يمر بالنقطة الأولى ويعامد الخط الأول، وعليه نقطة ثالثة إحداثياها مجهولان، وبعدها عن النقطة الأولى ستة أمثال الجذر التربيعي لخمسة. المطلوب الزوجان الممكنان لإحداثيي هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ميل الخط الأول من معادلته، وميل العمودي سالب مقلوبه. اكتب معادلة الخط الثاني من الميل والنقطة الأولى، واجعل السين بدلالة الصاد. ثم اكتب مربع المسافة بين النقطتين وساوِه بمربع البعد المعطى، وعوّض فيه بالسين. ستحصل على مربع واحد يساوي عددًا، فخذ الجذر بالموجب والسالب لتجد قيمتين للصاد، ثم السين المقابلة لكل منهما. الفخ: نسيان الجذر السالب فتضيع إحدى النقطتين.
- 1Gradient of l₁ = −2, so gradient of l₂ = 1/2
- 2l₂: y − 6 = ½(x + 1), so x = 2y − 13
- 3PR² = 180: (x + 1)² + (y − 6)² = 180
- 4(2y − 12)² + (y − 6)² = 180, so 5(y − 6)² = 180
- 5y − 6 = ±6: y = 0 or y = 12
- 6x = −13 or x = 11: R = (−13, 0) or (11, 12)
Answere = −13, f = 0 and e = 11, f = 12
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نختار من النقطتين النقطة ذات الإحداثي السيني السالب. المطلوب مساحة المثلث الذي رؤوسه النقاط الثلاث: الأولى والثانية على الخط الأول، والثالثة على الخط العمودي.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن الخطين متعامدان عند النقطة الأولى، فالزاوية عندها قائمة. إذن المساحة نصف حاصل ضرب الضلعين المحيطين بالزاوية القائمة. احسب طول الضلع الواقع على الخط الأول بقانون المسافة، والضلع الآخر طوله معطى. الفخ: البحث عن ارتفاع معقّد مع أن الزاوية القائمة جاهزة.
- 1PQ = √((3 + 1)² + (−2 − 6)²) = √80 = 4√5
- 2Angle QPR = 90°, PR = 6√5
- 3Area = ½ × 4√5 × 6√5 = 60
Answer60
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
النقاط الثلاث: النقطة الأولى، والنقطة الثانية على الخط الأول، والنقطة الثالثة على الخط العمودي، تقع كلها على دائرة واحدة. المطلوب إحداثيا مركز هذه الدائرة.
كيف تحلّه؟
الزاوية المحيطية القائمة تقابل قطرًا. بما أن الزاوية عند النقطة الأولى قائمة، فالضلع المقابل لها، الواصل بين النقطتين الأخريين، قطر في الدائرة. المركز إذن منتصف هذا القطر: اجمع الإحداثيين السينيين واقسم على اثنين، وكذلك الصاديين. الفخ: أخذ منتصف ضلع آخر غير المقابل للزاوية القائمة.
- 1Angle RPQ = 90°, so RQ is a diameter
- 2Centre = midpoint of RQ = ((−13 + 3)/2, (0 − 2)/2) = (−5, −1)
Answer(−5, −1)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس طول قطعة مستقيمة بالعربي
تدرّب على أسئلة طول قطعة مستقيمة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara