حل السؤال 10، 4PM1/01R يناير 2020: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
شكل رباعي أحد رؤوسه نقطة الأصل. أُعطيت ثلاثة متجهات بدلالة المتجهين «أ» و«ب»: من الأصل إلى الرأس الأول، ومن الأصل إلى الرأس الثاني (القطر)، ومن الرأس الثاني إلى الثالث. المطلوب المتجه من الرأس الأول إلى الثاني في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
للانتقال من الرأس الأول إلى الثاني، ارجع من الرأس الأول إلى الأصل ثم اذهب من الأصل إلى الرأس الثاني. الرجوع يعني عكس إشارة المتجه المعطى. اجمع ثم بسّط بجمع معاملات «أ» معًا ومعاملات «ب» معًا. الخطأ الشائع: نسيان عكس إشارة المتجه عند الرجوع.
- 1AB = AO + OB = −(2a − b) + (3a + b)
- 2= a + 2b
AnswerAB = a + 2b
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «إثبات» أن الضلع من الأصل إلى الرأس الثالث يوازي الضلع الذي وجدت متجهه في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
أوجد متجه الضلع من الأصل إلى الرأس الثالث بالذهاب من الأصل إلى الرأس الثاني ثم من الثاني إلى الثالث. بسّطه ثم أخرج عاملًا مشتركًا لتُظهر أنه مضاعف عددي للمتجه من الجزء الأول. المتجهان المتوازيان أحدهما مضاعف عددي للآخر، فاكتب هذه الجملة في الختام. الفخ: الاكتفاء بالحساب دون كتابة الاستنتاج.
- 1OC = OB + BC = 3a + b − a + 3b = 2a + 4b
- 22a + 4b = 2(a + 2b) = 2AB
- 3OC is a positive multiple of AB, so they are parallel
AnswerOC = 2a + 4b = 2AB, so OC is parallel to AB
الجزء (c) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
القطران يتقاطعان في نقطة. المطلوب «باستخدام طريقة المتجهات» نسبة الجزأين اللذين تقسم بهما نقطة التقاطع القطر الممتد من الرأس الأول إلى الرأس الثالث.
كيف تحلّه؟
اكتب المتجه من الرأس الأول إلى نقطة التقاطع بطريقتين: مرة كجزء مجهول (لامدا) من القطر الأول، ومرة بالذهاب إلى الأصل ثم جزء مجهول (ميو) من القطر الآخر. ساوِ التعبيرين، ثم ساوِ معاملات «أ» في الطرفين ومعاملات «ب» في الطرفين، فتحصل على معادلتين تحلهما. قيمة لامدا تعطيك النسبة. الفخ: كتابة النسبة جزءًا إلى الكل بدل جزء إلى جزء.
- 1AC = AB + BC = a + 2b − a + 3b = 5b
- 2AX = λAC = 5λb
- 3Also AX = AO + OX = −(2a − b) + μ(3a + b)
- 45λb = (3μ − 2)a + (1 + μ)b
- 5a: 3μ − 2 = 0, so μ = 2/3; b: 5λ = 1 + 2/3, so λ = 1/3
- 6AX : XC = 1 : 2
AnswerAX : XC = 1 : 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara