حل السؤال 10، 4PM1/02R يناير 2020: التكامل: عكس الاشتقاق
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مشتقة منحنى معطاة وفيها ثابت مجهول غير صفري، والمنحنى يمر بنقطتين معلومتين. «بيّن أن» معادلة المنحنى هي المعادلة التكعيبية المعطاة.
كيف تحلّه؟
كامل المشتقة حدًا حدًا وأضف ثابت التكامل؛ صار عندك مجهولان. عوّض بإحداثيي كل نقطة في المعادلة، فتحصل على معادلتين في المجهولين. حلّهما معًا، ثم اكتب المعادلة النهائية. الفخ: نسيان ثابت التكامل، فلا تتطابق المعادلتان.
- 1y = ∫ (3x² − 4x − p) dx = x³ − 2x² − px + c
- 2(2, 0): 0 = 8 − 8 − 2p + c, so c = 2p
- 3(−1, 9): 9 = −1 − 2 + p + c, so c = 12 − p
- 42p = 12 − p gives p = 4, c = 8
- 5y = x³ − 2x² − 4x + 8
Answery = x³ − 2x² − 4x + 8 shown (p = 4, c = 8)
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خط مستقيم معادلته معطاة. المطلوب «بالتكامل الجبري» المساحة الدقيقة للمنطقة المحدودة بين المنحنى والخط.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلتي المنحنى والخط لتجد نقاط التقاطع؛ يختفي كثير من الحدود ويبقى مقدار يتحلل بأخذ عامل مشترك. المساحة هي تكامل (الأعلى ناقص الأسفل) بين نقطتي التقاطع، فحدد أيهما أعلى في هذه الفترة. كامل وعوّض بالحدين واترك الجواب كسرًا. الفخ: طرح الأعلى من الأسفل فتخرج المساحة سالبة.
- 1x³ − 2x² − 4x + 8 = 8 − 4x gives x³ − 2x² = 0
- 2x²(x − 2) = 0, so x = 0 or x = 2
- 3Area = ∫ from 0 to 2 of [(8 − 4x) − (x³ − 2x² − 4x + 8)] dx = ∫ from 0 to 2 of (2x² − x³) dx
- 4= [2x³/3 − x⁴/4] from 0 to 2 = 16/3 − 4
- 5= 4/3
Answer4/3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكامل: عكس الاشتقاق بالعربي
تدرّب على أسئلة التكامل: عكس الاشتقاق
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara