حل السؤال 9، 4PM1/02 يونيو 2019: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة مشتقة دالة المنحنى (كثيرة حدود تكعيبية)، ومعطاة نقطة يمر بها المنحنى. المطلوب «بيّن أن» المنحنى يمر بنقطة الأصل.
كيف تحلّه؟
كامل المشتقة حدًّا حدًّا ولا تنسَ ثابت التكامل. عوّض بالنقطة المعطاة لإيجاد الثابت. ثم عوّض بصفر في الدالة وبيّن أن الناتج صفر. الفخ: نسيان ثابت التكامل أو أخطاء إشارة مع السالب.
- 1f(x) = x⁴/4 − x³/3 − 2x² + 4x + c
- 2At (−2, −28/3): −28/3 = 4 + 8/3 − 8 − 8 + c
- 3c = 0
- 4f(0) = 0, so C passes through the origin
Answerf(x) = x⁴/4 − x³/3 − 2x² + 4x (c = 0), so f(0) = 0 and C passes through O
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أولًا «بيّن أن» للمنحنى نقطة صغرى عند السين تساوي اثنين وعظمى عند السين تساوي واحدًا، ثم إيجاد الإحداثي الصادي الدقيق لكل منهما.
كيف تحلّه؟
عوّض بكل قيمة في المشتقة لتبيّن أنها تساوي صفرًا. ثم اشتق مرة ثانية: إذا كانت المشتقة الثانية موجبة فالنقطة صغرى، وإذا كانت سالبة فعظمى. لإيجاد الصاد عوّض في الدالة الأصلية لا في المشتقة، واترك الناتج كسرًا دقيقًا.
- 1f′(2) = 8 − 4 − 8 + 4 = 0 and f′(1) = 1 − 1 − 4 + 4 = 0
- 2f″(x) = 3x² − 2x − 4
- 3f″(2) = 12 − 4 − 4 = 4 > 0: minimum at x = 2
- 4f″(1) = 3 − 2 − 4 = −3 < 0: maximum at x = 1
- 5f(1) = 1/4 − 1/3 − 2 + 4 = 23/12
- 6f(2) = 4 − 8/3 − 8 + 8 = 4/3
Answer(i) f′(2) = f′(1) = 0; f″(2) = 4 > 0 so minimum at x = 2, f″(1) = −3 < 0 so maximum at x = 1 (ii) at x = 1, y = 23/12 (1 11/12); at x = 2, y = 4/3 (1 1/3)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى نقطة دوران ثالثة غير النقطتين السابقتين، أي نقطة ثالثة تكون فيها المشتقة صفرًا. المطلوب إحداثياتها وتحديد نوعها.
كيف تحلّه؟
بما أنك تعرف جذرين للمشتقة، حلّلها إلى ثلاثة أقواس لتجد الجذر الثالث. لاحظ أنه يطابق النقطة المعطاة في بداية السؤال. ثم حدّد نوعها بإشارة المشتقة الثانية.
- 1f′(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 2), so the third turning point is at x = −2
- 2y = −28/3 (the given point), A(−2, −28/3)
- 3f″(−2) = 12 + 4 − 4 = 12 > 0, so A is a minimum
Answer(i) A(−2, −28/3) (ii) minimum
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara