حل السؤال 7، 4PM1/01 يونيو 2022: حل المعادلات التكعيبية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يعطيك السؤال مشتقة الدالة (كثيرة حدود من الدرجة الثالثة) ونقطة معلومة على المنحنى. المطلوب «بيّن أن» المنحنى يمر بنقطة الأصل، أي أن قيمة الدالة عند الصفر تساوي صفرًا.
كيف تحلّه؟
كامل المشتقة حدًا حدًا لتحصل على معادلة المنحنى، ولا تنسَ ثابت التكامل. عوّض بإحداثيي النقطة المعطاة لتجد هذا الثابت، فإذا خرج صفرًا كانت الصاد صفرًا عندما تكون السين صفرًا. الخطأ الشائع: نسيان ثابت التكامل أو الخطأ في إشارات الحدود عند التعويض.
- 1f(x) = ∫ (4x³ − 12x² − 19x + 12) dx = x⁴ − 4x³ − (19/2)x² + 12x + D
- 2At (4, −104): −104 = 256 − 256 − 152 + 48 + D
- 3−104 = −104 + D ⇒ D = 0
- 4So f(0) = 0 and C passes through the origin
Answerf(x) = x⁴ − 4x³ − (19/2)x² + 12x with constant 0, so f(0) = 0 and C passes through the origin
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام المشتقة المعطاة للمنحنى، المطلوب «بيّن أن» للمنحنى نقطة عظمى عند النقطة التي تكون فيها السين نصفًا.
كيف تحلّه؟
عوّض بالنصف في المشتقة الأولى المعطاة وبيّن أن الناتج صفر، فهي نقطة تحوّل. ثم اشتق مرة ثانية واحسب المشتقة الثانية عند النصف: إذا كانت سالبة فالنقطة عظمى. احذر: لا يكفي أن تكون المشتقة الأولى صفرًا، بل اختبر المشتقة الثانية واذكر إشارتها.
- 1f′(0.5) = 4(0.125) − 12(0.25) − 19(0.5) + 12 = 0.5 − 3 − 9.5 + 12 = 0
- 2f″(x) = 12x² − 24x − 19
- 3f″(0.5) = 3 − 12 − 19 = −28 < 0, so maximum
Answerf′(0.5) = 0 and f″(0.5) = −28 < 0, so a maximum at x = 0.5
الجزء (bi) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى نقطتا تحوّل أخريان، والأولى منهما إحداثيها السيني سالب. المطلوب إيجاد إحداثيي كل من النقطتين.
كيف تحلّه؟
نقاط التحوّل حيث المشتقة الأولى صفر. بما أن النصف جذر للمشتقة، فالقوس «ضعف السين ناقص واحد» عامل لها؛ اقسم عليه لتحصل على عبارة تربيعية ثم حلّلها. خذ الجذرين الآخرين وعوّض بكل منهما في معادلة المنحنى من الجزء الأول لإيجاد الصاد. الفخ: التعويض في المشتقة بدل الدالة نفسها عند حساب الصاد.
- 1(2x − 1) is a factor of f′(x): f′(x) = (2x − 1)(2x² − 5x − 12)
- 2= (2x − 1)(2x + 3)(x − 4), so x = −3/2 or x = 4
- 3f(−3/2) = 81/16 + 27/2 − 171/8 − 18 = −333/16
- 4f(4) = −104
- 5A(−3/2, −333/16), B(4, −104)
AnswerA(−3/2, −333/16), B(4, −104)
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تحديد نوع كل من نقطتي التحوّل اللتين وجدتهما في الجزء السابق: هل كل منهما عظمى أم صغرى؟
كيف تحلّه؟
عوّض بالإحداثي السيني لكل نقطة في المشتقة الثانية التي وجدتها سابقًا. الإشارة الموجبة تعني صغرى، والسالبة تعني عظمى. اكتب الإشارة صراحة مع الاستنتاج لكل نقطة. الخطأ الشائع: الاعتماد على شكل الرسم دون حساب.
- 1f″(−3/2) = 27 + 36 − 19 = 44 > 0, so A is a minimum
- 2f″(4) = 192 − 96 − 19 = 77 > 0, so B is a minimum
AnswerA and B are both minimum points
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات التكعيبية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات التكعيبية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara