حل السؤال 10، 4PM1/02 يناير 2022: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر بسطه ومقامه مقداران خطيان في السين. المطلوب كتابة معادلة خط التقارب الموازي لمحور السينات، ومعادلة خط التقارب الموازي لمحور الصادات.
كيف تحلّه؟
الأفقي: عندما تكبر السين جدًا تقترب الصاد من نسبة معامل السين في البسط إلى معاملها في المقام. الرأسي: عند القيمة التي تجعل المقام صفرًا. اكتب كلًا منهما معادلة كاملة. الفخ: الخلط بين الاثنين.
- 1As x → ±∞, y → 2/1 = 2
- 2The denominator is zero at x = −4
Answer(i) y = 2 (ii) x = −4
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى نفسه، المطلوب إحداثيات نقطتي تقاطعه مع المحورين: محور السينات ومحور الصادات.
كيف تحلّه؟
مع محور السينات: الصاد صفر، أي البسط صفر. مع محور الصادات: عوّض بالسين صفرًا. اكتب كل نقطة بإحداثييها. الفخ: نسيان أن الكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا فقط.
- 1y = 0: 2x − 1 = 0, x = 1/2
- 2x = 0: y = −1/4
Answer(1/2, 0) and (0, −1/4)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
على المحاور المعطاة، المطلوب رسم تخطيطي للمنحنى يُظهر خطي التقارب ونقطتي التقاطع مع المحورين بإحداثياتها.
كيف تحلّه؟
ارسم خطي التقارب متقطعين. الفرع الذي يمر بنقطتي المحورين يقع يمين الخط الرأسي، وحدّد موقعه بالنسبة للخط الأفقي من النقطتين. الفرع الآخر في الربع المقابل حول نقطة التقاء الخطين. لا يلمس أي فرع خط التقارب. الفخ: وضع الفرعين في الربعين الخطأ.
- 1Draw the asymptotes x = −4 and y = 2
- 2Right branch: passes through (0, −1/4) and (1/2, 0), approaches y = 2 from below
- 3Left branch: above y = 2, approaching both asymptotes
AnswerRectangular-hyperbola shape: one branch to the right of x = −4 and below y = 2, passing through (0, −1/4) and (1/2, 0); the other branch to the left of x = −4 and above y = 2; asymptotes x = −4 and y = 2 drawn and labelled
الجزء (d) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خطان ميل كل منهما واحد يمسّان المنحنى في نقطتين، والإحداثي السيني لنقطة التماس الأولى أكبر. المطلوب بالتفاضل إحداثيات نقطتي التماس.
كيف تحلّه؟
اشتق المنحنى بقاعدة القسمة، فيبسّط البسط إلى عدد ثابت. المماس ميله واحد، فساوِ المشتقة بواحد. تحصل على أن مربع القوس في المقام يساوي عددًا، فخذ الجذر بالموجب والسالب لتجد قيمتين للسين. عوّض في معادلة المنحنى لتجد الصاد. الفخ: نسيان الجذر السالب فتضيع إحدى النقطتين.
- 1dy/dx = (2(x + 4) − (2x − 1))/(x + 4)² = 9/(x + 4)²
- 2The tangent y = x + k has gradient 1
- 39/(x + 4)² = 1, so (x + 4)² = 9
- 4x + 4 = ±3, x = −1 or x = −7
- 5x = −1: y = −3/3 = −1; x = −7: y = −15/(−3) = 5
- 6P has the larger x: P(−1, −1), Q(−7, 5)
Answer(i) P(−1, −1) (ii) Q(−7, 5)
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم نقطتي التماس من الجزء السابق. المطلوب قيمة الحد الثابت في معادلة كل من المماسين.
كيف تحلّه؟
كل نقطة تماس تقع على مماسها، فعوّض بإحداثييها في معادلة الخط الذي ميله واحد، وحلّ للحد الثابت. انتبه أن تربط كل نقطة بمماسها الصحيح حسب ترتيب السؤال.
- 1At P: −1 = −1 + k₁, so k₁ = 0
- 2At Q: 5 = −7 + k₂, so k₂ = 12
Answer(i) k₁ = 0 (ii) k₂ = 12
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara