حل السؤال 10، 4PM1/02 يونيو 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر خطي على خطي. «اكتب» معادلة خط التقارب الموازي لمحور الصادات، ثم الموازي لمحور السينات.
كيف تحلّه؟
التقارب الرأسي حيث يساوي المقام صفرًا. التقارب الأفقي يظهر عندما تكبر السين جدًا: يكون الناتج نسبة معامل السين في البسط إلى معامله في المقام. انتبه لإشارة معامل البسط.
- 12x + 3 = 0 gives x = −3/2
- 2As x → ±∞, y → −x/(2x) = −1/2
Answer(i) x = −3/2 (ii) y = −1/2
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إحداثيات نقطتي تقاطع المنحنى نفسه مع محوري الإحداثيات: نقطة على محور السينات ونقطة على محور الصادات.
كيف تحلّه؟
لمحور السينات اجعل الصاد صفرًا، أي البسط صفرًا. لمحور الصادات عوّض السين بصفر. اكتب كل إجابة على صورة نقطة بإحداثيين.
- 1y = 0: 7 − x = 0, so (7, 0)
- 2x = 0: y = 7/3, so (0, 7/3)
Answer(7, 0) and (0, 7/3)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
على المحاور المعطاة، «ارسم رسمًا تقريبيًا» للمنحنى يُظهر خطي التقارب ونقطتي التقاطع مع المحورين.
كيف تحلّه؟
ارسم خطي التقارب متقطعين أولًا. الفرع الذي يمر بنقطتي التقاطع يقع يمين التقارب الرأسي: يهبط من الأعلى قرب التقارب الرأسي، يقطع المحورين، ثم يقترب من التقارب الأفقي من الأعلى. الفرع الآخر يسار التقارب الرأسي وتحت التقارب الأفقي. الفخ: جعل المنحنى يلمس خط التقارب أو يعبره.
- 1Asymptotes x = −3/2 and y = −1/2
- 2Right branch: from +∞ near x = −3/2 through (0, 7/3) and (7, 0), then towards y = −1/2 from above
- 3Left branch: below y = −1/2, tending to −∞ near x = −3/2
AnswerTwo-branch curve with asymptotes x = −3/2 and y = −1/2; the right branch passes through (0, 7/3) and (7, 0) and approaches y = −1/2 from above; the left branch lies below y = −1/2
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى يمر بنقطة معلومة. «بيّن أن» ميل المنحنى عند هذه النقطة يساوي القيمة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة: المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام، على مربع المقام. بسّط البسط فيصبح عددًا ثابتًا. ثم عوّض إحداثي السين للنقطة. الفخ: عكس الترتيب في بسط قاعدة القسمة فتنقلب الإشارة.
- 1dy/dx = [−1(2x + 3) − 2(7 − x)]/(2x + 3)² = −17/(2x + 3)²
- 2At x = 1/2: −17/(4)² = −17/16
AnswerGradient at A = −17/16 shown
الجزء (e) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة أخرى على المنحنى، والمماس عندها يوازي المماس عند النقطة الأولى. المطلوب معادلة هذا المماس على صورة مجموع ثلاثة حدود بمعاملات صحيحة يساوي صفرًا.
كيف تحلّه؟
التوازي يعني الميل نفسه. ساوِ صيغة المشتقة بالميل المعروف، فتحصل على مربع المقام يساوي عددًا، وخذ الجذر بإشارتيه. أحد الحلين هو النقطة الأولى، والآخر هو المطلوب. جد إحداثي الصاد بالتعويض في المعادلة، ثم اكتب معادلة المستقيم بالميل والنقطة واضرب لإزالة الكسور. الفخ: نسيان الجذر السالب.
- 1−17/(2x + 3)² = −17/16, so (2x + 3)² = 16
- 22x + 3 = ±4, x = 1/2 or x = −7/2
- 3At P, x = −7/2: y = (7 + 7/2)/(−7 + 3) = −21/8
- 4y + 21/8 = −(17/16)(x + 7/2)
- 534x + 32y + 203 = 0
Answer34x + 32y + 203 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara