حل السؤال 6، 4PM1/02 يونيو 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة مصمتة، مساحة سطحها الكلية معطاة بدلالة باي. «بيّن أن» الحجم يساوي باي في نصف القطر في قوس معطى.
كيف تحلّه؟
اكتب المساحة الكلية: قاعدتان دائريتان زائد السطح الجانبي، وساوِها بالمعطى. اقسم على اثنين باي ثم اجعل الارتفاع موضوع القانون. عوّض الارتفاع في قانون الحجم، أي باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، واختصر. الفخ: نسيان إحدى القاعدتين.
- 1700π = 2πr² + 2πrh
- 2h = (350 − r²)/r
- 3V = πr²h = πr²(350 − r²)/r
- 4V = πr(350 − r²)
AnswerV = πr(350 − r²) shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام التفاضل، المطلوب نصف القطر الذي يجعل الحجم أكبر ما يمكن، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية، مع «تبرير» أنه قيمة عظمى.
كيف تحلّه؟
وزّع الضرب في صيغة الحجم ثم اشتق بالنسبة لنصف القطر، وساوِ المشتقة بالصفر وحلّ لتجد نصف القطر الموجب. للتبرير احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها سالبة عند هذه القيمة، فالنقطة عظمى. الفخ: الاكتفاء بالقيمة دون التبرير، فدرجة التبرير منفصلة.
- 1V = 350πr − πr³
- 2dV/dr = 350π − 3πr² = 0
- 3r² = 350/3, r = 10.8
- 4d²V/dr² = −6πr < 0 for r > 0, so V is a maximum
Answerr = 10.8 (maximum since d²V/dr² = −6πr < 0)
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب ارتفاع الأسطوانة الذي يقابل الحجم الأكبر، باستخدام نصف القطر من الجزء السابق، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض قيمة نصف القطر من الجزء السابق في صيغة الارتفاع التي وجدتها في الجزء الأول. استخدم القيمة الدقيقة من الآلة الحاسبة لا القيمة المقرّبة حتى لا يتأثر الرقم الأخير.
- 1h = (350 − r²)/r with r² = 350/3
- 2h = (700/3)/√(350/3) = 21.6
Answerh = 21.6 cm
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara