حل السؤال 10، 4PM1/02R يونيو 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر: بسطه خطي ومقامه فيه ثابتان مجهولان. معطى خط التقارب الرأسي، ونقطة قطع محور الصادات. المطلوب في الأول «بيّن أن» الثابت الثاني يساوي ثمانية، وفي الثاني إيجاد الثابت الأول.
كيف تحلّه؟
للجزء الأول: عوّض بالسين تساوي صفرًا في المعادلة، وساوِ الناتج بإحداثي الصاد المعطى، ثم احسب الثابت. للجزء الثاني: خط التقارب الرأسي يكون حيث المقام يساوي صفرًا، فعوّض بقيمة السين المعطاة للخط في المقام وساوِه بالصفر، ثم حلّ المعادلة. الفخ: مساواة البسط بالصفر بدل المقام.
- 1(i) At x = 0: y = −2/b
- 2−2/b = −1/4, so b = 8
- 3(ii) Vertical asymptote where ax + 8 = 0
- 4−(4/3)a + 8 = 0 (or −b/a = −4/3)
- 5a = 6
Answer(i) b = 8 shown; (ii) a = 6
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «اكتب» معادلة خط التقارب الموازي لمحور السينات، أي الخط الأفقي الذي يقترب منه المنحنى. لا يحتاج حسابًا طويلًا.
كيف تحلّه؟
عندما تكبر السين جدًا تصبح الحدود الثابتة صغيرة الأثر، فيقترب الكسر من نسبة معامل السين في البسط إلى معامل السين في المقام. اكتب الخط على صورة الصاد تساوي هذه النسبة. الفخ: كتابة السين بدل الصاد، فهذا خط رأسي.
- 1As x → ∞, y → 5/6
Answery = 5/6
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
بعد معرفة الثابتين في معادلة المنحنى الكسرية، المطلوب إحداثيا النقطة التي يقطع فيها المنحنى محور السينات.
كيف تحلّه؟
على محور السينات تكون الصاد صفرًا، والكسر يساوي صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا. ساوِ البسط بالصفر وحلّ، واكتب الإجابة نقطةً إحداثيها الثاني صفر. الفخ: مساواة المقام بالصفر.
- 15x − 2 = 0, so x = 2/5
Answer(2/5, 0)
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
بعد معرفة الثابتين في معادلة المنحنى الكسرية، المطلوب «باستخدام التفاضل» أن تبيّن أن ميل المنحنى موجب عند كل نقطة عليه.
كيف تحلّه؟
اشتق باستخدام قاعدة القسمة: المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام، والكل على مربع المقام. بسّط البسط فتجده عددًا ثابتًا موجبًا. ثم علّل: البسط موجب، والمقام مربع لا يساوي صفرًا فهو موجب، إذن المشتقة موجبة دائمًا. الفخ: الاكتفاء بالحساب دون كتابة هذا التعليل الأخير.
- 1Quotient rule: dy/dx = [5(6x + 8) − 6(5x − 2)]/(6x + 8)²
- 2= 52/(6x + 8)²
- 3Numerator 52 > 0 and (6x + 8)² > 0 for x ≠ −4/3
- 4So the gradient is always positive
Answerdy/dx = 52/(6x + 8)², which is always positive
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم المنحنى على المحاور المعطاة، مع كتابة معادلتي خطّي التقارب وإحداثيات نقطتي القطع مع المحورين بوضوح.
كيف تحلّه؟
ارسم خطّي التقارب أولًا خطين متقطعين. المنحنى له فرعان، وبما أن الميل موجب دائمًا فكل فرع صاعد. الفرع الأيمن يمر بنقطتي القطع اللتين وجدتهما، والفرع الأيسر يقع فوق خط التقارب الأفقي. اكتب كل المعادلات والإحداثيات على الرسم. الفخ: أن يلمس المنحنى خط التقارب أو يعبره.
- 1Vertical asymptote x = −4/3, horizontal asymptote y = 5/6
- 2Gradient always positive, so each branch rises
- 3Right branch passes through (0, −1/4) and (2/5, 0)
- 4Left branch lies above y = 5/6
AnswerTwo-branch reciprocal-type curve with asymptotes x = −4/3 and y = 5/6, increasing on each branch; crosses the axes at (0, −1/4) and (2/5, 0) on the right-hand branch
الجزء (f) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ميل المنحنى يساوي ثلاثة عشر على مئة عند نقطتين على المنحنى. المطلوب طول القطعة الواصلة بينهما مقرّبًا إلى منزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
ساوِ المشتقة التي وجدتها في الجزء السابق بالميل المعطى، فتحصل على مربع المقام يساوي عددًا. خذ الجذر بالإشارتين الموجبة والسالبة لتجد قيمتي السين، ثم عوّض في معادلة المنحنى لتجد الصاد لكل منهما. أخيرًا استخدم قانون المسافة بين نقطتين. الفخ: نسيان الجذر السالب فتضيع إحدى النقطتين.
- 152/(6x + 8)² = 13/100
- 2(6x + 8)² = 400, so 6x + 8 = ±20 (3x² + 8x − 28 = 0)
- 3x = 2, y = 2/5 and x = −14/3, y = 19/15
- 4EF = √((2 + 14/3)² + (2/5 − 19/15)²)
- 5EF = 6.72
AnswerEF = 6.72
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara