حل السؤال 9، 4PM1/02 يناير 2022: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: مثلث، متجها ضلعين منه انطلاقًا من الرأس الأول معلومان. المطلوب متجه الضلع الثالث من الرأس الثاني إلى الرأس الثالث.
كيف تحلّه؟
للانتقال من الرأس الثاني إلى الثالث، ارجع إلى الرأس الأول (عكس المتجه الأول) ثم اذهب على المتجه الثاني. أي اطرح المتجه الأول من الثاني. الفخ: نسيان عكس إشارة المتجه الأول.
- 1AB = AO + OB
- 2= −2a + 4b
AnswerAB = −2a + 4b
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة هي منتصف الضلع الثالث للمثلث. المطلوب متجهها من الرأس الأول، تعبيرًا مبسطًا بدلالة المتجهين.
كيف تحلّه؟
اذهب من الرأس الأول إلى الرأس الثاني، ثم نصف الطريق على الضلع الثالث الذي وجدته. اجمع وبسّط بجمع الحدود المتشابهة. الفخ: أخذ نصف المتجه الأول بدل نصف الضلع الثالث.
- 1OP = OA + ½AB
- 2= 2a + ½(−2a + 4b)
- 3= a + 2b
AnswerOP = a + 2b
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة على القطعة السابقة (من الرأس الأول إلى المنتصف) تقسمها بنسبة ثلاثة إلى واحد من جهة الرأس الأول. المطلوب متجه القطعة من الرأس الثاني إلى هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
النسبة ثلاثة إلى واحد تعني أن الجزء الأول ثلاثة أرباع القطعة كلها. اكتب متجه النقطة من الرأس الأول، ثم اذهب من الرأس الثاني إليها عبر الرأس الأول. الفخ: أخذ ثلث القطعة أو ثلاثة أثلاثها بدل ثلاثة أرباعها.
- 1OQ = ¾OP = ¾(a + 2b)
- 2AQ = AO + OQ = −2a + ¾(a + 2b)
- 3AQ = −(5/4)a + (3/2)b
AnswerAQ = −(5/4)a + (3/2)b
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة على الضلع الواصل بين الرأس الأول والرأس الثالث، بحيث تقع على خط مستقيم واحد مع الرأس الثاني والنقطة السابقة. المطلوب النسبة التي تقسم بها هذه النقطة ذلك الضلع، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه النقطة من الرأس الأول بطريقتين: مرة جزءًا مجهولًا من الضلع، ومرة عبر الرأس الثاني ثم مضاعف مجهول للقطعة السابقة. لأن المتجهين الأساسيين غير متوازيين، ساوِ معاملي كل منهما، فتحصل على معادلتين. من الجزء الذي وجدته كوّن النسبة المطلوبة. الفخ: إعطاء نسبة الجزء إلى الضلع كله بدل الجزء إلى الجزء الباقي.
- 1OR = λ(4b)
- 2OR = OA + μAQ = 2a + μ(−(5/4)a + (3/2)b)
- 3Compare a: 2 − (5/4)μ = 0, so μ = 8/5
- 4Compare b: (3/2)μ = 4λ, so 4λ = 12/5, λ = 3/5
- 5OR = (3/5)OB, so OR : RB = 3 : 2
AnswerOR : RB = 3 : 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara