حل السؤال 9، 4PM1/01R يونيو 2025: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الدالة هي (واحد زائد مربع السين) مرفوعًا للقوة الرابعة. المطلوب «بيّن أن» مشتقتها تساوي ثمانية أمثال السين في القوس مكعبًا.
كيف تحلّه؟
استخدم قاعدة السلسلة: أنزل الأس واطرح منه واحدًا، ثم اضرب في مشتقة ما داخل القوس. الفخ: نسيان الضرب في مشتقة ما داخل القوس.
- 1Chain rule: f′(x) = 4(1 + x²)³ × 2x
- 2= 8x(1 + x²)³
Answerf′(x) = 8x(1 + x²)³ shown
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته جيب ثلاثة أمثال السين مقسومًا على القوس السابق. المطلوب «بيّن أن» ميل العمودي عند النقطة التي إحداثيها السيني ثلثا النسبة التقريبية يساوي العبارة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة واستخدم الجزء السابق لمشتقة المقام. أخرج القوس المكعب عاملًا مشتركًا واختصره مع المقام. عوّض السين: ثلاثة أمثالها دورة كاملة، فجيبها صفر وجيب تمامها واحد، فيختفي حد كامل. ميل العمودي سالب مقلوب ميل المماس. الفخ: نسيان ضرب جيب التمام في ثلاثة.
- 1Quotient rule: dy/dx = [3cos 3x(1 + x²)⁴ − 8x(1 + x²)³ sin 3x]/(1 + x²)⁸
- 2= [3(1 + x²)cos 3x − 8x sin 3x]/(1 + x²)⁵
- 3At x = 2π/3: cos 2π = 1, sin 2π = 0
- 4dy/dx = 3(1 + (2π/3)²)/(1 + (2π/3)²)⁵ = 3/(1 + (2π/3)²)⁴
- 5Normal gradient = −1/(dy/dx) = −(1/3)(1 + (2π/3)²)⁴
AnswerGradient of normal = −(1/3)(1 + (2π/3)²)⁴ shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara