حل السؤال 11، 4PM1/02 يونيو 2025: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» القوة الرابعة لجيب تمام الزاوية ناقص القوة الرابعة لجيبها يساوي جيب تمام ضعف الزاوية.
كيف تحلّه؟
اعتبر المقدار فرقًا بين مربعين، فحلّله إلى قوسين: فرق المربعين ومجموعهما. مجموع مربعي الجيب وجيب التمام يساوي واحدًا، والقوس الآخر هو إحدى صيغ جيب تمام ضعف الزاوية. اكتب كل خطوة.
- 1cos⁴θ − sin⁴θ = (cos²θ − sin²θ)(cos²θ + sin²θ)
- 2cos²θ + sin²θ = 1
- 3= cos²θ − sin²θ = cos 2θ
Answercos⁴θ − sin⁴θ = cos 2θ shown
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ أو بغير ذلك» حل معادلة فيها مربع جيب تمام زاوية مزاحة في طرف، وفي الطرف الآخر صورة مقدار الجزء الأول بزاوية مزاحة، في المدى المعطى بالراديان، مقرّبًا لمنزلتين عشريتين.
كيف تحلّه؟
الطرف الأيمن هو ضعف مقدار الجزء الأول، فاستبدله بجيب تمام ضعف الزاوية المزاحة، وهي نفس الزاوية في الطرف الأيسر. تحصل على معادلة تربيعية في جيب التمام: حلّلها. جد مدى الزاوية الجديدة من مدى ثيتا، واكتب كل الحلول فيه، ثم اطرح الإزاحة واقسم على اثنين. الفخ: عدم توسيع المدى فتضيع حلول.
- 1RHS = 2cos(2θ + π/4) by (a)
- 28cos²(2θ + π/4) − 2cos(2θ + π/4) − 3 = 0
- 3(4cos(2θ + π/4) − 3)(2cos(2θ + π/4) + 1) = 0
- 4cos(2θ + π/4) = 3/4 or −1/2
- 5In [π/4, 9π/4): 2θ + π/4 = 2π/3, 4π/3, 2π − 0.7227…, 2π + 0.7227…
- 6θ = 0.65, 1.70, 2.39, 3.11
Answerθ = 0.65, 1.70, 2.39, 3.11
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام التفاضل والتكامل، جد القيمة الدقيقة لتكامل محدد: فرق القوتين الرابعتين لزاوية مضاعفة ناقص ثمانية أمثال جيب، على صورة عدد ناقص عدد في جذر اثنين.
كيف تحلّه؟
استخدم الجزء الأول ليصبح فرق القوتين جيب تمام ضعف الزاوية، فيصير التكامل لجيب تمام وجيب بالزاوية نفسها. كامل كل حد مع القسمة على معامل الزاوية، ثم عوّض الحدين واطرح باستخدام القيم الدقيقة للزوايا الخاصة. الفخ: نسيان القسمة على معامل الزاوية أو خطأ إشارة تكامل الجيب.
- 1cos⁴2x − sin⁴2x = cos 4x
- 2∫ (cos 4x − 8sin 4x) dx = (1/4)sin 4x + 2cos 4x
- 3= (1/4)[sin(π/2) − sin(π/4)] + 2[cos(π/2) − cos(π/4)]
- 4= (1/4)(1 − √2/2) + 2(0 − √2/2) = 1/4 − 9√2/8
Answer1/4 − 9√2/8
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara