حل السؤال 11، 4PM1/01R يونيو 2024: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة في ثيتا هي حاصل ضرب قوسين فيهما الجيب وجيب التمام. المطلوب «بيّن أن» الدالة تساوي ثلاثة أنصاف جيب ضعف الزاوية زائد ضعف جيب تمام ضعف الزاوية.
كيف تحلّه؟
وسّع القوسين واجمع الحدود المتشابهة: حدود الجيب في جيب التمام معًا، ومربع جيب التمام مع مربع الجيب. ثم استخدم أن الجيب في جيب التمام نصف جيب الضعف، وأن مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب هو جيب تمام الضعف.
- 1f(θ) = 4sin θ cos θ + 2cos²θ − 2sin²θ − sin θ cos θ
- 2= 3sin θ cos θ + 2(cos²θ − sin²θ)
- 3= (3/2)sin 2θ + 2cos 2θ
Answerf(θ) = (3/2)sin 2θ + 2cos 2θ shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: المنحنى هو الدالة زائد اثنين، ويقطع المحور الأفقي عند نقطة. المطلوب «بيّن أن» هذه النقطة عند نصف النسبة التقريبية، باستخدام أن مربع الجيب زائد مربع جيب التمام يساوي واحدًا.
كيف تحلّه؟
ساوِ المنحنى بالصفر واضرب في اثنين. اكتب جيب الضعف وجيب تمام الضعف بدلالة الزاوية المفردة، واكتب العدد الثابت مضروبًا في (مربع الجيب زائد مربع جيب التمام). تختفي حدود مربع الجيب، فأخرج جيب التمام عاملًا مشتركًا. جيب التمام صفر يعطي القيمة المطلوبة، والعامل الآخر يعطي زاوية أكبر فليس أول تقاطع. الفخ: القسمة على جيب التمام فيضيع الحل المطلوب.
- 1(3/2)sin 2θ + 2cos 2θ + 2 = 0, so 3sin 2θ + 4cos 2θ + 4 = 0
- 23sin 2θ + 4(cos²θ − sin²θ) + 4(sin²θ + cos²θ) = 0
- 36sin θ cos θ + 8cos²θ = 0
- 4cos θ(6sin θ + 8cos θ) = 0
- 5cos θ = 0 gives θ = π/2 (tan θ = −4/3 gives a larger root), so a = π/2
Answera = π/2 shown
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة الدقيقة للمنطقة المظللة بين المنحنى والمحور الأفقي الموجب ومحور الصادات الموجب، بالتكامل الجبري.
كيف تحلّه؟
كامل معادلة المنحنى من صفر إلى نصف النسبة التقريبية. تكامل جيب ضعف الزاوية هو سالب نصف جيب تمام الضعف، وتكامل جيب تمام الضعف نصف جيب الضعف، وتكامل الثابت ثابت في الزاوية. عوّض الحدين بالقيم الدقيقة واطرح. الفخ: نسيان القسمة على اثنين في التكامل.
- 1Area = ∫ from 0 to π/2 of ((3/2)sin 2θ + 2cos 2θ + 2) dθ
- 2= [−(3/4)cos 2θ + sin 2θ + 2θ] from 0 to π/2
- 3= (3/4 + π) − (−3/4) = 3/2 + π
Answer3/2 + π
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara