حل السؤال 10، 4PM1/01R يونيو 2025: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب باستخدام قانون من صفحة القوانين «بيّن أن»: أولًا مربع الجيب يساوي (واحد ناقص جيب تمام الضعف) على اثنين، وثانيًا مربع جيب التمام يساوي (جيب تمام الضعف زائد واحد) على اثنين.
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون جيب تمام مجموع زاويتين بزاويتين متساويتين: جيب تمام الضعف مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. للأولى استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب واجعل مربع الجيب موضوع القانون. للثانية استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام.
- 1(i) cos(A + A) = cos A cos A − sin A sin A, so cos 2A = cos²A − sin²A
- 2cos 2A = 1 − sin²A − sin²A = 1 − 2sin²A
- 32sin²A = 1 − cos 2A
- 4sin²A = (1 − cos 2A)/2
- 5(ii) cos 2A = 1 − 2sin²A = 1 − 2(1 − cos²A)
- 6cos 2A = 2cos²A − 1
- 7cos²A = (cos 2A + 1)/2
Answer(i) sin²A = (1 − cos 2A)/2 shown; (ii) cos²A = (cos 2A + 1)/2 shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنى الجيب ومنحنى جيب تمام ضعف السين يتقاطعان في نقطة. المطلوب إحداثياتها الدقيقة باستخدام الجبر.
كيف تحلّه؟
ساوِ المعادلتين. اكتب جيب تمام الضعف بدلالة مربع الجيب، فتحصل على معادلة تربيعية في الجيب، وحلّلها. إحدى القيمتين لا تعطي النقطة المرسومة، فاختر التي تناسب الشكل وأوجد الزاوية بالراديان ثم الصاد.
- 1cos 2x = sin x
- 21 − 2sin²x = sin x
- 32sin²x + sin x − 1 = 0
- 4(2sin x − 1)(sin x + 1) = 0
- 5sin x = 1/2, so x = π/6 and y = 1/2
AnswerA(π/6, 1/2)
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تدور المنطقة المظللة بين محور الصادات والمنحنيين دورة كاملة حول محور السينات. المطلوب الحجم الدقيق بالتكامل الجبري، على صورة عدد أولي في جذره على عدد صحيح في النسبة التقريبية.
كيف تحلّه؟
الحجم هو النسبة التقريبية في تكامل (مربع المنحنى الأعلى ناقص مربع المنحنى الأسفل)، وليس مربع الفرق. استبدل المربعين بصيغتي الجزء (أ)، فيصير المكامِل حدودًا من جيب التمام سهلة التكامل. كامل من صفر إلى الإحداثي السيني لنقطة التقاطع وعوّض بالقيم الدقيقة. الفخ الكبير: تربيع الفرق بين الدالتين.
- 1V = π ∫ from 0 to π/6 of (cos²2x − sin²x) dx
- 2= π ∫ from 0 to π/6 of [(cos 4x + 1)/2 − (1 − cos 2x)/2] dx
- 3= π ∫ from 0 to π/6 of (cos 4x/2 + cos 2x/2) dx
- 4= π [sin 4x/8 + sin 2x/4] from 0 to π/6
- 5= π(√3/16 + √3/8) = (3√3/16)π
Answer(3√3/16)π
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara