حل السؤال 11، 4PM1/02 يونيو 2024: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قوانين ورقة القوانين، المطلوب «بيّن أن» جيب تمام ضعف الزاوية يساوي ضعف مربع جيب تمامها ناقص واحد.
كيف تحلّه؟
من قانون جيب تمام المجموع بزاويتين متساويتين تحصل على مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. ثم استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام وبسّط. ابدأ من القانون لا من النتيجة.
- 1cos 2A = cos(A + A) = cos²A − sin²A
- 2= cos²A − (1 − cos²A)
- 3= 2cos²A − 1
Answercos 2A = 2cos²A − 1 shown
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قانون من ورقة القوانين، المطلوب «بيّن أن» جيب ضعف الزاوية يساوي ضعف جيبها مضروبًا في جيب تمامها.
كيف تحلّه؟
استخدم قانون جيب المجموع بزاويتين متساويتين، فيظهر حدّان متساويان: الجيب في جيب التمام مرتين، فاجمعهما.
- 1sin 2A = sin(A + A) = sin A cos A + cos A sin A
- 2= 2 sin A cos A
Answersin 2A = 2 sin A cos A shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» مكعب جيب تمام الزاوية يساوي (جيب تمام ثلاثة أضعافها زائد ثلاثة أضعاف جيب تمامها) مقسومًا على أربعة.
كيف تحلّه؟
اكتب ثلاثة أضعاف الزاوية على صورة ضعفها زائد الزاوية، واستخدم قانون جيب تمام المجموع. عوّض بنتائج الجزء الأول لجيب تمام الضعف وجيبه، واستبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام. بسّط، ثم اجعل المكعب موضوع القانون.
- 1cos 3A = cos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin A
- 2= (2cos²A − 1)cos A − 2 sin²A cos A
- 3= 2cos³A − cos A − 2(1 − cos²A)cos A
- 4= 4cos³A − 3cos A
- 5So cos³A = (cos 3A + 3cos A)/4
Answercos³A = (cos 3A + 3cos A)/4 shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» حلّ معادلة تكعيبية في جيب تمام نصف الزاوية ثيتا، في المجال من صفر إلى ضعف النسبة التقريبية، وأعطِ القيم الدقيقة بدلالة النسبة التقريبية.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن ثمانية أضعاف المكعب ناقص ستة أضعاف جيب التمام هي ضعف جيب تمام ثلاثة أضعاف الزاوية حسب الجزء السابق، والزاوية هنا نصف ثيتا. فتتحول المعادلة إلى قيمة لجيب تمام ثلاثة أنصاف ثيتا. حوّل المجال (من صفر إلى ثلاثة أمثال النسبة التقريبية)، وجد كل الزوايا فيه، ثم اضرب في ثلثين. الفخ: البحث في المجال الأصلي فقط فتفوتك حلول.
- 18cos³(θ/2) − 6cos(θ/2) = 2cos(3θ/2)
- 2So 2cos(3θ/2) − 1 = 0, cos(3θ/2) = 1/2
- 33θ/2 = π/3, 5π/3, 7π/3 (11π/3 gives θ > 2π)
- 4θ = 2π/9, 10π/9, 14π/9
Answerθ = 2π/9, 10π/9, 14π/9
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام التكامل الجبري» المطلوب القيمة الدقيقة لتكامل (أربعة أضعاف مكعب جيب تمام ثيتا ناقص جيب ضعفها) من صفر إلى سدس النسبة التقريبية.
كيف تحلّه؟
مكعب جيب التمام لا يُكامل مباشرة، فاستبدله بنتيجة الجزء الثاني. كامل كل حد: تكامل جيب تمام مضاعف الزاوية هو جيبه مقسومًا على المضاعف، وتكامل الجيب سالب جيب التمام مقسومًا على المضاعف. عوّض بالحدين بالقيم الدقيقة. الفخ: نسيان القسمة على المضاعف أو إشارة تكامل الجيب.
- 14cos³θ = cos 3θ + 3cos θ
- 2∫ (cos 3θ + 3cos θ − sin 2θ) dθ = sin 3θ/3 + 3 sin θ + cos 2θ/2
- 3At π/6: 1/3 + 3/2 + 1/4; at 0: 1/2
- 419/12
Answer19/12
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara