حل السؤال 11، 4PM1/02R يناير 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
وعاء أسطواني مفتوح من الأعلى، نصف قطره وارتفاعه مجهولان، ومساحة سطحه الكلية ستمئة وخمسة وعشرون باي. «بيّن أن» الارتفاع يساوي المقدار المعطى بدلالة نصف القطر.
كيف تحلّه؟
الوعاء مفتوح، فسطحه قاعدة دائرية واحدة زائد السطح الجانبي، وهو محيط الدائرة في الارتفاع. ساوِ بالمساحة المعطاة، اقسم على باي، واجعل الارتفاع موضوع القانون. الفخ: إضافة قاعدتين كأن الأسطوانة مغلقة.
- 1Open cylinder: S = πr² + 2πrh
- 2πr² + 2πrh = 625π
- 32rh = 625 − r²
- 4h = (625 − r²)/(2r)
Answerh = (625 − r²)/(2r) shown
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحجم يتغير مع نصف القطر. المطلوب «باستخدام التفاضل» نصف القطر الذي يجعل الحجم أكبر ما يمكن، لثلاثة أرقام معنوية، مع تبرير أنه يعطي قيمة عظمى.
كيف تحلّه؟
اكتب الحجم: باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، وعوّض بالارتفاع من الجزء الأول وبسّط. اشتق بالنسبة لنصف القطر واجعل المشتقة صفرًا، وخذ القيمة الموجبة. للتبرير بيّن أن المشتقة الثانية سالبة عند هذه القيمة. الفخ: الاشتقاق قبل التعويض بالارتفاع.
- 1V = πr² × (625 − r²)/(2r) = π(625r/2 − r³/2)
- 2dV/dr = 625π/2 − 3πr²/2
- 3dV/dr = 0 → 3r² = 625 → r = 14.4337… ≈ 14.4 (r > 0)
- 4d²V/dr² = −3πr < 0 for r > 0, so V is a maximum
Answerr = 14.4 cm; d²V/dr² = −3πr < 0 so maximum
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الارتفاع المقابل لنصف القطر الذي وجدته في الجزء السابق، لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة نصف القطر غير المقرّبة من الآلة الحاسبة في عبارة الارتفاع من الجزء الأول. التعويض بالقيمة المقرّبة قد يغيّر الرقم الأخير.
- 1h = (625 − 14.4337…²)/(2 × 14.4337…)
- 2h = 14.4 cm
Answerh = 14.4 cm
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara