حل السؤال 11، 4PM1/02 يونيو 2019: حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قائم قاعدته مربعة طول ضلعها معلوم من الشكل، والزاوية عند الرأس بين قطرين متقابلين في القاعدة قائمة. المطلوب «بيّن أن» ارتفاع الهرم هو القيمة المعطاة.
كيف تحلّه؟
احسب قطر المربع بفيثاغورس، ونصفه هو المسافة من ركن القاعدة إلى مركزها. المثلث المكوّن من الرأس وركنين متقابلين قائم ومتطابق الضلعين، فزاويتا قاعدته خمس وأربعون. إذن الارتفاع يساوي نصف القطر، أي ظل خمس وأربعين في نصف القطر.
- 1AC = √(16² + 16²) = 16√2, so AP = 8√2 (P the centre of the base)
- 2Triangle AVC is right-angled and isosceles, so angle VAP = 45°
- 3VP = AP tan 45° = 8√2 cm
Answerheight = 8√2 cm shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الهرم نفسه، وبعد معرفة ارتفاعه، المطلوب طول الحرف المائل الواصل من الرأس إلى أحد أركان القاعدة، بالسنتيمتر.
كيف تحلّه؟
استخدم فيثاغورس في المثلث القائم المكوّن من ارتفاع الهرم، ونصف قطر القاعدة من المركز إلى الركن، والحرف المائل وتره. الفخ: استخدام نصف ضلع القاعدة بدل نصف القطر.
- 1VA² = (8√2)² + (8√2)² = 256
- 2VA = 16 cm
AnswerVA = 16 cm
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الطول الدقيق للعمودي النازل من ركن مجاور في القاعدة على الحرف المائل نفسه، بالسنتيمتر وبالجذر دون تقريب.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن المثلث المكوّن من الرأس وركنين متجاورين أضلاعه الثلاثة متساوية، فهو متساوي الأضلاع، والعمودي من أحد رؤوسه ينصّف الضلع المقابل. استخدم فيثاغورس واترك الناتج بالجذر.
- 1Triangle ADV is equilateral with side 16
- 2Let X be the foot of the perpendicular from D: X is the midpoint of VA
- 3DX² = 16² − 8² = 192, DX = 8√3 cm
Answer8√3 cm
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب قياس الزاوية بين أحد الوجوه الجانبية المثلثية للهرم ومستوى القاعدة، بالدرجات لأقرب منزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
خذ منتصف ضلع القاعدة في هذا الوجه، والمثلث القائم المكوّن من الرأس والمركز وهذا المنتصف. البعد من المركز إلى المنتصف نصف الضلع، والارتفاع معلوم، فاستخدم الظل. الفخ: استخدام الحرف المائل بدل الخط إلى المنتصف.
- 1Let M be the midpoint of AB: PM = 8, VP = 8√2
- 2tan θ = 8√2/8 = √2
- 3θ = 54.7°
Answer54.7°
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية المنفرجة بين وجهين جانبيين متجاورين يشتركان في الحرف المائل نفسه، لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
العمودان من الركنين المجاورين على الحرف المشترك يلتقيان عند منتصفه، وطول كل منهما من الجزء الثالث. المثلث المكوّن منهما ومن قطر القاعدة يحتوي الزاوية المطلوبة، فاستخدم قانون جيب التمام. الفخ: أخذ الزاوية الحادة بدل المنفرجة.
- 1The perpendiculars from B and from D to VA both meet VA at X, each 8√3
- 2BD = 16√2
- 3cos φ = ((8√3)² + (8√3)² − (16√2)²)/(2 × 8√3 × 8√3) = −1/3
- 4φ = 109.5°
Answer109.5°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara