حل السؤال 8، 4PM1/01 يونيو 2025: حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قائم قاعدته مربع طول ضلعه اثنا عشر، والزاوية بين أحد أوجهه الجانبية والقاعدة ثلاثون درجة. المطلوب «بيّن أن» ارتفاعه يساوي ضعف جذر ثلاثة.
كيف تحلّه؟
الزاوية بين الوجه والقاعدة تظهر في المثلث القائم المكوّن من الارتفاع والخط من مركز القاعدة إلى منتصف ضلعها، وطوله نصف ضلع المربع. استخدم الظل: الارتفاع على هذا البعد، وظل الثلاثين يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة.
- 1Let P be the centre of the base; the distance from P to AB is 6
- 2tan 30° = VP/6
- 3VP = 6 tan 30° = 6 × (√3/3) = 2√3
AnswerHeight = 2√3 cm shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الطول الدقيق لأحد الأحرف الجانبية للهرم، أي من الرأس إلى ركن من أركان القاعدة.
كيف تحلّه؟
بعد الركن عن مركز القاعدة نصف القطر، والقطر من فيثاغورس في المربع. ثم الحرف الجانبي وتر مثلث قائم ضلعاه الارتفاع وهذا البعد. بسّط الجذر.
- 1AC = √(12² + 12²) = 12√2, so AP = 6√2
- 2VA² = (2√3)² + (6√2)² = 12 + 72 = 84
- 3VA = √84 = 2√21
AnswerVA = 2√21 cm
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب المساحة الدقيقة لأحد الأوجه المثلثة للهرم (الوجه المار بضلع من أضلاع القاعدة والرأس).
كيف تحلّه؟
ارتفاع الوجه هو الخط من الرأس إلى منتصف ضلع القاعدة؛ احسبه بفيثاغورس من ارتفاع الهرم ونصف الضلع. ثم المساحة نصف القاعدة في هذا الارتفاع.
- 1Let X be the midpoint of AD
- 2VX = √((2√3)² + 6²) = √48 = 4√3
- 3Area of VAD = ½ × 12 × 4√3 = 24√3
Answer24√3 cm²
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الطول الدقيق للعمود النازل من الركن الآخر لهذا الوجه على الحرف الجانبي المشترك.
كيف تحلّه؟
احسب مساحة المثلث نفسه بطريقة ثانية: نصف الحرف الجانبي في العمود المطلوب. ساوِها بالمساحة من الجزء السابق وحلّ، ثم أزل الجذر من المقام.
- 1Area of VAD = ½ × VA × DY
- 224√3 = ½ × 2√21 × DY
- 3DY = 24√3/√21 = 24/√7 = 24√7/7
Answer24√7/7 cm
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية المنفرجة بين وجهين جانبيين متجاورين يشتركان في حرف جانبي، بالدرجات لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
العمودان من الركنين المجاورين على الحرف المشترك يلتقيان في النقطة نفسها وطولاهما متساويان (من الجزء السابق)، والزاوية بينهما هي الزاوية بين الوجهين. المسافة بين الركنين قطر المربع. استخدم قانون جيب التمام في المثلث المكوّن منها. الفخ: أخذ الزاوية الحادة.
- 1The perpendiculars from D and from B to VA meet VA at the same point Y, each of length 24√7/7
- 2BD = 12√2
- 3cos θ = (DY² + BY² − BD²)/(2 × DY × BY) = −3/4
- 4θ = 138.6°
Answer138.6°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara