حل السؤال 10، 4PM1/02 يونيو 2019: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ألفا وبيتا جذرا معادلة تربيعية معطاة. المطلوب، دون حل المعادلة، قيمة مجموع مربعي الجذرين، ثم مجموع قوتيهما الرابعة.
كيف تحلّه؟
من المعادلة: مجموع الجذرين سالب معامل السين، وحاصل ضربهما الحد الثابت. مجموع المربعين يساوي مربع المجموع ناقص ضعف حاصل الضرب. ولمجموع القوة الرابعة طبّق الفكرة نفسها: مربع مجموع المربعين ناقص ضعف مربع حاصل الضرب. الفخ: خطأ إشارة المجموع.
- 1α + β = −3, αβ = −5
- 2α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 9 + 10 = 19
- 3α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2(αβ)² = 361 − 50 = 311
Answer(i) 19 (ii) 311
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أن ألفا أكبر من بيتا. المطلوب «بيّن أن» الفرق بينهما يساوي الجذر التربيعي لتسعة وعشرين، دون حل المعادلة.
كيف تحلّه؟
مربع الفرق يساوي مربع المجموع ناقص أربعة أمثال حاصل الضرب. احسبه ثم خذ الجذر، واختر الجذر الموجب لأن ألفا أكبر من بيتا.
- 1(α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 9 + 20 = 29
- 2α > β so α − β = √29
Answerα − β = √29 shown
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تحليل الفرق بين القوة الرابعة لألفا والقوة الرابعة لبيتا تحليلًا كاملًا.
كيف تحلّه؟
هو فرق بين مربعين: مربع مربع ألفا ناقص مربع مربع بيتا، فيتحلل إلى قوسين. ثم القوس الذي فيه طرح فرق بين مربعين أيضًا فحلّله مرة أخرى. الخطأ الشائع: التوقف بعد التحليل الأول.
- 1α⁴ − β⁴ = (α² − β²)(α² + β²)
- 2= (α − β)(α + β)(α² + β²)
Answer(α − β)(α + β)(α² + β²)
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم التحليل من الجزء السابق. المطلوب القيمة الدقيقة للفرق بين القوة الرابعة لألفا والقوة الرابعة لبيتا.
كيف تحلّه؟
عوّض في الأقواس الثلاثة: الفرق من الجزء الثاني، والمجموع من المعادلة، ومجموع المربعين من الجزء الأول، ثم اضربها. اترك الجذر كما هو لأن المطلوب قيمة دقيقة.
- 1α⁴ − β⁴ = √29 × (−3) × 19
- 2= −57√29
Answer−57√29
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أن القوة الرابعة لبيتا تساوي عددًا ثابتًا موجبًا زائد ثابت آخر في جذر تسعة وعشرين. المطلوب قيمتا الثابتين.
كيف تحلّه؟
اطرح الفرق الذي وجدته في الجزء السابق من المجموع الذي وجدته في الجزء الأول، فيبقى ضعف القوة الرابعة لبيتا. اقسم على اثنين ثم قارن الجزء العددي والجزء الذي فيه الجذر. الفخ: الجمع بدل الطرح، فتحصل على ألفا بدل بيتا.
- 12β⁴ = (α⁴ + β⁴) − (α⁴ − β⁴)
- 22β⁴ = 311 + 57√29
- 3β⁴ = 311/2 + (57/2)√29: p = 311/2, q = 57/2
Answerp = 311/2, q = 57/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara