حل السؤال 10، 4PM1/02R يونيو 2024: حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: هرم قائم قاعدته مستطيل طوله ضعف عرضه، وأحرفه الجانبية متساوية، والزاوية بين حرف جانبي والقاعدة خمس وأربعون درجة. المطلوب «بيّن أن» طول الحرف الجانبي يساوي جذر عشرة على اثنين في السين.
كيف تحلّه؟
احسب قطر القاعدة بفيثاغورس. المثلث المكوّن من حرفين جانبيين متقابلين والقطر متساوي الساقين وزاويتا قاعدته خمس وأربعون، فهو قائم عند الرأس. إذن الحرف يساوي القطر في جيب خمس وأربعين. بسّط الجذور.
- 1AC = √((2x)² + x²) = √5 x
- 2Triangle VAC has base angles 45°, so it is right-angled at V
- 3VA = AC sin 45° = √5 x × (√2/2) = (√10/2)x
AnswerVA = (√10/2)x cm shown
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
للهرم نفسه، المطلوب الارتفاع الدقيق للهرم (من الرأس إلى مركز القاعدة) بدلالة السين، بالسنتيمتر.
كيف تحلّه؟
الارتفاع يسقط على مركز القاعدة، أي منتصف القطر. في المثلث القائم: الحرف وتر، ونصف القطر ضلع، والارتفاع الضلع الآخر، فاستخدم فيثاغورس. ويمكنك أيضًا ملاحظة أن زاوية خمس وأربعين تجعل الارتفاع مساويًا لنصف القطر.
- 1Height² = VA² − (AC/2)²
- 2= (10/4)x² − (5/4)x² = (5/4)x²
- 3Height = (√5/2)x
Answer(√5/2)x cm
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب قياس الزاوية بين حرف جانبي والضلع الطويل للقاعدة عند أحد ركني القاعدة، بالدرجات لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
الوجه الجانبي مثلث متساوي الساقين، فالعمود من الرأس ينصّف ضلع القاعدة الطويل. في المثلث القائم الناتج: جيب تمام الزاوية يساوي نصف الضلع الطويل مقسومًا على الحرف الجانبي. الفخ: استخدام الضلع كاملًا بدل نصفه.
- 1Triangle VAB is isosceles with VA = VB, so the foot of the perpendicular from V is the midpoint of AB
- 2cos VBA = x ÷ (√10/2)x = 2/√10
- 3∠VBA = 50.8°
Answer50.8°
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية المنفرجة بين المستويين المارّين بالرأس وبقطري القاعدة، بالدرجات لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
المستويان يتقاطعان في الخط الرأسي من الرأس إلى مركز القاعدة، وهو عمودي على القاعدة. لذلك الزاوية بينهما هي الزاوية بين القطرين عند المركز. في المثلث المكوّن من المركز وطرفي الضلع الطويل استخدم قاعدة جيب التمام. الفخ: إعطاء الزاوية الحادة بدل المنفرجة.
- 1Let M be where the diagonals meet; the planes meet along VM, which is perpendicular to the base
- 2So the angle between the planes is angle AMB
- 3AM = MB = AC/2 = (√5/2)x and AB = 2x
- 4cos AMB = (5/4 + 5/4 − 4)/(2 × 5/4) = −3/5
- 5∠AMB = 126.9°
Answer126.9°
الجزء (e) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
حجم الهرم معلوم بصيغة فيها جذر خمسة. المطلوب قيمة السين باستخدام الارتفاع الذي وجدته سابقًا.
كيف تحلّه؟
حجم الهرم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. اكتبه بدلالة السين باستخدام الارتفاع من الجزء (ب)، وساوِه بالحجم المعطى. يختفي جذر خمسة فيبقى مكعب السين يساوي عددًا، فخذ الجذر التكعيبي. الفخ: نسيان الثلث في قانون حجم الهرم.
- 1V = (1/3) × 2x × x × (√5/2)x = (√5/3)x³
- 2(√5/3)x³ = 9√5, so x³ = 27
- 3x = 3
Answerx = 3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara