حل السؤال 11، 4PM1/02R يونيو 2019: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية جذراها ألفا وبيتا، ومعطى ضعف حاصل ضربهما، وأربعة أمثال مجموع مربعيهما بدلالة ك. المطلوب «اكتب» الحد الثابت، ثم جد معامل السين بدلالة ك.
كيف تحلّه؟
في المعادلة التي معامل مربع السين فيها واحد: مجموع الجذرين هو سالب معامل السين، وحاصل ضربهما هو الحد الثابت. الحد الثابت يُقرأ مباشرة من المعطى. لمجموع الجذرين استخدم أن مربع المجموع يساوي مجموع المربعين زائد ضعف حاصل الضرب، فيصبح مربعًا كاملًا بدلالة ك. خذ الجذر الموجب لأن المعامل موجب. الفخ: عدم ملاحظة المربع الكامل.
- 1q = αβ = 3/2
- 2α² + β² = (k² − 6k − 3)/4
- 3(α + β)² = α² + β² + 2αβ = (k² − 6k − 3)/4 + 3 = (k − 3)²/4
- 4p = α + β = (k − 3)/2 (positive root since p > 0, k > 3)
Answerq = 3/2; p = (k − 3)/2
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
معطى علاقة جديدة: سبعة أمثال حاصل ضرب الجذرين تساوي ثلاثة أمثال مجموعهما. المطلوب قيمة ك.
كيف تحلّه؟
عوّض حاصل الضرب والمجموع من الجزء السابق في العلاقة، فتحصل على معادلة خطية بسيطة في ك. حلّها وتأكد أنها تحقق الشرط المعطى على ك.
- 17 × 3/2 = 3 × (k − 3)/2
- 27 = k − 3
- 3k = 10
Answerk = 10
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» كوّن معادلة بمعاملات صحيحة جذراها: كل جذر أصلي مقسومًا على مجموع الجذرين.
كيف تحلّه؟
احسب المجموع الأصلي بعد معرفة ك. مجموع الجذرين الجديدين يختصر إلى عدد بسيط لأن البسط يساوي المقام. حاصل ضربهما هو حاصل الضرب الأصلي على مربع المجموع. ثم اكتب المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد حاصل الضرب يساوي صفرًا، واضرب لإزالة الكسور. الفخ: نسيان إشارة السالب قبل المجموع.
- 1α + β = (10 − 3)/2 = 7/2
- 2Sum of new roots = (α + β)/(α + β) = 1
- 3Product = αβ/(α + β)² = (3/2)/(7/2)² = 6/49
- 4x² − x + 6/49 = 0
- 549x² − 49x + 6 = 0
Answer49x² − 49x + 6 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara