حل السؤال 8، 4PM1/02R يناير 2023: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية فيها ثابت صحيح موجب مجهول في معامل السين، وجذراها ألفا وبيتا. «بيّن أن» مجموع مربعي الجذرين يساوي المقدار المعطى بدلالة الثابت.
كيف تحلّه؟
من المعادلة: مجموع الجذرين سالب معامل السين على معامل مربعها، وحاصل الضرب الحد الثابت على معامل مربعها. مجموع المربعين هو مربع المجموع ناقص ضعف حاصل الضرب؛ عوّض ووحّد المقامات. الفخ: الخطأ في الإشارة، فطرح عدد سالب يصبح جمعًا.
- 1α + β = k/3, αβ = −1/3
- 2α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 3= k²/9 + 2/3 = (k² + 6)/9
Answerα² + β² = (k² + 6)/9 shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجموع القوتين الرابعتين للجذرين معطى كسرًا مقامه واحد وثمانون. المطلوب قيمة الثابت الصحيح الموجب في المعادلة.
كيف تحلّه؟
مجموع القوتين الرابعتين يساوي مربع مجموع المربعين ناقص ضعف مربع حاصل الضرب. عوّض بنتيجة الجزء الأول وساوِ بالقيمة المعطاة. اضرب في المقام المشترك لتحصل على معادلة هي في الحقيقة تربيعية في مربع الثابت. حلّلها، وارفض القيمة السالبة لمربع الثابت، ثم خذ الجذر الموجب لأن الثابت موجب. الفخ: الخطأ الحسابي مع المقامات الكبيرة.
- 1α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2(αβ)²
- 2466/81 = ((k² + 6)/9)² − 2/9
- 3k⁴ + 12k² − 448 = 0
- 4(k² − 16)(k² + 28) = 0
- 5k² = 16, k positive so k = 4
Answerk = 4
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب تكوين معادلة معاملاتها صحيحة، جذراها: (مكعب ألفا زائد بيتا) على بيتا، و(مكعب بيتا زائد ألفا) على ألفا.
كيف تحلّه؟
للمجموع: قسّم كل كسر فيظهر واحد من كل منهما، والباقي يجتمع على مقام حاصل الضرب ليعطي مجموع القوتين الرابعتين. لحاصل الضرب: اضرب البسطين وفكّ، والمقام حاصل ضرب الجذرين. استخدم قيم الجزأين السابقين. المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد حاصل الضرب يساوي صفرًا، ثم اضرب في المقام. الفخ: نسيان الواحدين في المجموع.
- 1Sum = (α⁴ + β⁴ + 2αβ)/(αβ) = (466/81 − 2/3)/(−1/3) = −412/27
- 2Product = (α³β³ + α⁴ + β⁴ + αβ)/(αβ) = (−1/27 + 466/81 − 1/3)/(−1/3) = −436/27
- 3x² + (412/27)x − 436/27 = 0
- 427x² + 412x − 436 = 0
Answer27x² + 412x − 436 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara