حل السؤال 8، 4PM1/01R يونيو 2025: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية ومستقيم مماس لها. مستقيم ثانٍ عمودي على الأول، وهو مماس للمنحنى عند نقطة إحداثيها السيني مجهول. المطلوب هذا الإحداثي السيني.
كيف تحلّه؟
اقرأ ميل المستقيم الأول بجعل الصاد موضوع القانون. ميل العمودي عليه سالب مقلوبه. اشتق الدالة، فالمشتقة عند نقطة التماس تساوي ميل المماس، فساوِ وحل. الفخ: استخدام ميل المستقيم الأول بدل العمودي.
- 1dy/dx = 4x − 4
- 2Gradient of l = 8
- 3Gradient of k = −1/8
- 44p − 4 = −1/8
- 5p = 31/32
Answerp = 31/32
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» متطابقتين: الأولى عن مكعب مجموع عددين، والثانية تعبّر عن مجموع القوتين الرابعتين بدلالة المجموع وحاصل الضرب.
كيف تحلّه؟
للأولى وسّع مكعب المجموع ثم أخرج حاصل الضرب في المجموع عاملًا من الحدين الأوسطين. للثانية: مجموع القوتين الرابعتين يساوي مربع مجموع المربعين ناقص ضعف مربع حاصل الضرب، ومجموع المربعين يساوي مربع المجموع ناقص ضعف حاصل الضرب.
- 1(i) (α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³
- 2= α³ + β³ + 3αβ(α + β)
- 3(ii) α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2α²β²
- 4α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 5So α⁴ + β⁴ = ((α + β)² − 2αβ)² − 2(αβ)²
Answer(i) (α + β)³ = α³ + β³ + 3αβ(α + β) shown; (ii) α⁴ + β⁴ = ((α + β)² − 2αβ)² − 2(αβ)² shown
الجزء (c) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
جذرا المعادلة «الدالة تساوي صفرًا» هما ألفا وبيتا. دون حلها، وباستخدام متطابقتي الجزء السابق، المطلوب تكوين معادلة تربيعية بمعاملات صحيحة جذراها: مكعب ألفا ناقص بيتا، ومكعب بيتا ناقص ألفا.
كيف تحلّه؟
اكتب مجموع الجذرين وحاصل ضربهما من المعادلة. مجموع الجذرين الجديدين: مجموع المكعبين ناقص المجموع، واستخدم المتطابقة الأولى. حاصل ضربهما: وسّع فيظهر مكعب حاصل الضرب ناقص مجموع القوتين الرابعتين زائد حاصل الضرب، واستخدم المتطابقة الثانية. كوّن المعادلة واضرب في المقام. الفخ: الخطأ في إشارات التوسيع.
- 1α + β = 2, αβ = 9/2
- 2Sum = α³ + β³ − (α + β) = (α + β)³ − 3αβ(α + β) − (α + β) = 8 − 27 − 2 = −21
- 3Product = (αβ)³ − (α⁴ + β⁴) + αβ
- 4α⁴ + β⁴ = (4 − 9)² − 2(81/4) = −31/2
- 5Product = 729/8 + 31/2 + 9/2 = 889/8
- 6x² + 21x + 889/8 = 0, so 8x² + 168x + 889 = 0
Answer8x² + 168x + 889 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara