حل السؤال 10، 4PM1/02R يونيو 2019: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام قانون» جيب تمام مجموع زاويتين، «بيّن أن» جيب تمام ضعف الزاوية يساوي ضعف مربع جيب التمام ناقص واحد.
كيف تحلّه؟
اجعل الزاويتين متساويتين في القانون فيصبح جيب تمام ضعف الزاوية مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. ثم استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام وبسّط.
- 1cos(A + A) = cos A cos A − sin A sin A
- 2cos 2A = cos²A − sin²A
- 3= cos²A − (1 − cos²A)
- 4= 2cos²A − 1
Answercos 2A = 2cos²A − 1 shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» جيب تمام أربعة أمثال الزاوية يساوي المقدار المعطى بدلالة القوتين الرابعة والثانية لجيب التمام.
كيف تحلّه؟
اعتبر أربعة أمثال الزاوية ضعف الضعف، وطبّق نتيجة الجزء الأول على ضعف الزاوية. ثم استبدل جيب تمام ضعف الزاوية بالصيغة نفسها مرة ثانية، وربّع القوس بعناية ووزّع.
- 1cos 4A = 2cos²2A − 1
- 2= 2(2cos²A − 1)² − 1
- 3= 2(4cos⁴A − 4cos²A + 1) − 1
- 4= 8cos⁴A − 8cos²A + 1
Answercos 4A = 8cos⁴A − 8cos²A + 1 shown
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة فيها مربع جيب تمام زاوية مزاحة مضروبًا في قوس. المطلوب الحلول في المدى المعطى بدلالة باي.
كيف تحلّه؟
سمِّ الزاوية المزاحة باسم واحد. وزّع فيظهر فرق القوة الرابعة والمربع، ومن الجزء الثاني يساوي جيب تمام أربعة أمثالها ناقص واحد على ثمانية. أربعة أمثال الزاوية المزاحة هي ثيتا زائد إزاحة. تحصل على جيب تمام يساوي قيمة خاصة. جد المدى الجديد واكتب الحلول ثم اطرح الإزاحة. الفخ: نسيان تعديل المدى.
- 1Let x = θ/4 + π/24: cos²x(cos²x − 1) = cos⁴x − cos²x = (cos 4x − 1)/8
- 24x = θ + π/6
- 3(cos(θ + π/6) − 1)/8 = −1/16 ⇒ cos(θ + π/6) = 1/2
- 4θ + π/6 = π/3, 5π/3 (in range π/6 ≤ θ + π/6 < 13π/6)
- 5θ = π/6, 3π/2
Answerθ = π/6, 3π/2
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة بدلالة جيب التمام. «باستخدام التكامل» جد القيمة الدقيقة لتكاملها بين حدين، على صورة كسر في باي ناقص كسر في جذر عدد أولي.
كيف تحلّه؟
استخدم الجزء الثاني لكتابة الدالة على صورة نصف جيب تمام أربعة أمثال الزاوية زائد نصف، فيصبح التكامل سهلًا. كامل جيب التمام مع القسمة على أربعة، ثم عوّض الحدين بالقيم الدقيقة واطرح. الفخ: محاولة تكامل القوة الرابعة مباشرة.
- 1From (b): 4cos⁴A − 4cos²A = (cos 4A − 1)/2, so f(A) = (cos 4A)/2 + 1/2
- 2∫ f(A) dA = sin 4A/8 + A/2
- 3[sin 4A/8 + A/2] from π/6 to π/2 = (0 + π/4) − (√3/16 + π/12)
- 4= π/6 − √3/16
Answerπ/6 − √3/16
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara