حل السؤال 10، 4PM1/01R يونيو 2024: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية فيها ثابت سالب ك، وجذراها ألفا أكبر من بيتا، والفرق بين مربعيهما معلوم بصيغة فيها جذر سبعة عشر. المطلوب «بيّن أن» ك يساوي سالب سبعة.
كيف تحلّه؟
اكتب مجموع الجذرين وحاصل ضربهما بدلالة ك. الفرق بين المربعين يساوي المجموع في الفرق، والفرق يُحسب من: مربع الفرق يساوي مربع المجموع ناقص أربعة أمثال حاصل الضرب. عوّض وربّع الطرفين، فتحصل على معادلة من الدرجة الرابعة في ك، وهي تربيعية في مربع ك. حلّلها، ثم استخدم شرط أن ك سالب. الفخ: نسيان تربيع الطرف الأيمن كاملًا.
- 1α + β = −k/2, αβ = 2
- 2(α − β)² = (α + β)² − 4αβ
- 3α² − β² = (α + β)(α − β) = (−k/2)√(k²/4 − 8) = 7√17/4
- 4Square: (k²/4)(k²/4 − 8) = 833/16, so k⁴ − 32k² − 833 = 0
- 5(k² − 49)(k² + 17) = 0
- 6k² = 49 and k < 0 gives k = −7
Answerk = −7 shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم قيمة ك. المطلوب تكوين معادلة تربيعية جذراها: الفرق بين الجذرين (ألفا ناقص بيتا)، ومجموعهما (ألفا زائد بيتا).
كيف تحلّه؟
من الجزء السابق أوجد المجموع والفرق عدديًا. مجموع الجذرين الجديدين هو المجموع زائد الفرق، وحاصل ضربهما هو المجموع في الفرق، وهو الفرق بين المربعين المعطى أصلًا. كوّن المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد حاصل الضرب يساوي صفرًا، ثم اضرب لتتخلص من الكسور.
- 1α + β = 7/2 and α − β = √17/2
- 2Product = α² − β² = 7√17/4
- 3Sum = √17/2 + 7/2 = (√17 + 7)/2
- 4x² − ((√17 + 7)/2)x + 7√17/4 = 0
- 54x² − 2(√17 + 7)x + 7√17 = 0
Answer4x² − 2(√17 + 7)x + 7√17 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara