حل السؤال 8، 4PM1/02R يونيو 2019: حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منشور قائم مقطعه مثلث، ونقطة على القاعدة بحيث يكون المستقيم من الرأس العلوي إليها عموديًا. «بيّن أن» طول القطعة المحددة خمسة سنتيمترات.
كيف تحلّه؟
المثلث المكوّن من الرأس العلوي والنقطة والرأس السفلي قائم الزاوية. استخدم جيب تمام الزاوية المعطاة: المجاور يساوي الوتر في جيب تمام الزاوية.
- 1Triangle BNF is right-angled at N
- 2BN = BF cos 60° = 10 × 0.5
- 3= 5 cm
AnswerBN = 5 cm shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب طول القطعة من الرأس العلوي للوجه المقابل إلى النقطة على القاعدة، لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
جد أولًا الارتفاع العمودي بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم من الجزء السابق. الحافة العليا عمودية على هذا الارتفاع، فالمثلث المكوّن منهما قائم. طبّق فيثاغورس مرة ثانية. الفخ: استخدام طول القاعدة بدل الحافة العليا.
- 1FN² = 10² − 5² = 75 (FN = 5√3)
- 2EF = 12 and EN² = EF² + FN²
- 3NE = √(12² + 75) = √219 = 14.798… ≈ 14.8 cm
Answer14.8 cm
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منتصفا ضلعين في المثلث العلوي يحددان مع حافة القاعدة مستوًى مائلًا. المطلوب الزاوية بين هذا المستوى وقاعدة المنشور لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
الخط الواصل بين المنتصفين يوازي القاعدة وعلى نصف الارتفاع. خذ منتصف الارتفاع العمودي، والنقطة المقابلة له على الحافة البعيدة من القاعدة. الزاوية المطلوبة في مثلث قائم ضلعاه نصف الارتفاع وطول المنشور، فاستخدم الظل. الفخ: اختيار مستقيم غير عمودي على خط التقاطع.
- 1Let R be the midpoint of FN, so R lies on XY at height √75/2 above N
- 2P is the point on AD opposite N, PN = 12
- 3tan ∠RPN = (√75/2)/12
- 4∠RPN = 19.84… ≈ 19.8°
Answer19.8°
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية عند منتصف أحد الضلعين بين المستقيمين الواصلين إلى رأسين محددين، لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
احسب أضلاع المثلث الثلاثة. الضلع الواصل إلى رأس القاعدة: أسقط عمودًا من المنتصف على القاعدة، ثم فيثاغورس في ثلاثة أبعاد. الضلع الواصل إلى الرأس العلوي: نصف الضلع المائل مع الحافة العليا في مثلث قائم. الضلع الثالث معطى. ثم قاعدة جيب التمام للزاوية المطلوبة. الفخ: أخطاء التقريب المبكر، فاحتفظ بالجذور.
- 1Let Z be the foot of the perpendicular from Y to BC: BZ = 6.5, ZY = √75/2
- 2AY = √(12² + 6.5² + (√75/2)²) = √205
- 3FC = √(75 + 3²) = √84 ⇒ FY = √21
- 4EY = √(12² + 21) = √165
- 5cos AYE = (205 + 165 − 100)/(2 × √205 × √165)
- 6∠AYE = 42.77… ≈ 42.8°
Answer42.8°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: متوازي المستطيلات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara