حل السؤال 9، 4PM1/02 يونيو 2024: قانون الجيب
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منشور ثلاثي قائم قاعدته مستطيلة، ومقطعه الأمامي مثلث زاويتا قاعدته خمس وأربعون وستون درجة. المطلوب «بيّن أن» جيب الزاوية الثالثة في المثلث يساوي العبارة المعطاة، باستخدام قانون من ورقة القوانين.
كيف تحلّه؟
مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون، فالزاوية الثالثة معلومة. اكتبها مجموع خمس وأربعين وثلاثين، واستخدم قانون جيب المجموع مع القيم الدقيقة لجيوب هذه الزوايا وجيوب تمامها، ثم اضرب الكسور واجمع.
- 1∠AFB = 180° − 60° − 45° = 75°
- 2sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
- 3= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
- 4= (√6 + √2)/4
Answersin AFB = (√2 + √6)/4 shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«دون استخدام الآلة الحاسبة» المطلوب «بيّن أن» طول ضلع المثلث المقابل لزاوية الستين يساوي العبارة المعطاة.
كيف تحلّه؟
استخدم قانون الجيب: ضلع القاعدة المعطى (أربعة وعشرون) مقابل الزاوية الثالثة، والضلع المطلوب مقابل الستين. عوّض بجيب الستين الدقيق وبنتيجة الجزء السابق، ثم أزل الجذور من المقام بالضرب في المرافق وبسّط الجذور. الفخ: الخطأ في تحديد الضلع المقابل لكل زاوية.
- 1Sine rule: 24/sin 75° = BF/sin 60°
- 2BF = 24 × (√3/2) ÷ ((√6 + √2)/4) = 48√3/(√6 + √2)
- 3Multiply top and bottom by (√6 − √2)
- 4BF = 48√3(√6 − √2)/(6 − 2) = 12(√18 − √6)
- 5= 12(3√2 − √6)
AnswerBF = 12(3√2 − √6) cm shown
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الزاوية بين المستوى المار بضلع القاعدة الأمامي والرأس العلوي الخلفي، ومستوى القاعدة، تساوي خمسًا وستين درجة. المطلوب طول الحرف العلوي لرقمين معنويين.
كيف تحلّه؟
أسقط عمودًا من الرأس العلوي الأمامي على ضلع القاعدة الأمامي؛ طوله ارتفاع المثلث، وتحسبه من الضلع في الجزء السابق وجيب الخمس والأربعين. الزاوية بين المستويين تظهر في مثلث قائم ضلعاه هذا الارتفاع والحرف العلوي (طول المنشور)، فاستخدم الظل. الفخ: استخدام الزاوية في مثلث خطأ.
- 1Let X be the foot of the perpendicular from F to AB
- 2FX = BF sin 45° = 36 − 12√3 = 15.215…
- 3The angle between plane AEB and ABCD is the angle at X, so tan 65° = FX/EF
- 4EF = 15.215…/tan 65° = 7.095… ≈ 7.1
AnswerEF = 7.1 cm
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية بين الخط الواصل من الرأس العلوي الأمامي إلى الركن الخلفي للقاعدة (تحت الضلع المحسوب) ومستوى القاعدة، لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
الرأس العلوي يقع فوق نقطة على ضلع القاعدة الأمامي مباشرة، فالارتفاع معلوم من الجزء السابق. جد طول الخط المائل بفيثاغورس من الضلع المحسوب في الجزء الثاني وطول المنشور، فهما متعامدان. ثم جيب الزاوية يساوي الارتفاع على طول الخط المائل. الفخ: أخذ الزاوية بين الخط والوجه الخلفي بدل القاعدة.
- 1The required angle is FCX (F is vertically above X)
- 2FC = √(BF² + EF²) = √(21.517…² + 7.095…²) = 22.657…
- 3sin FCX = FX/FC = 15.215…/22.657…
- 4∠FCX = 42.2°
Answer42.2°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون الجيب بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون الجيب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara