حل السؤال 10، 4PM1/02 يونيو 2020: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» مجموع جيب تمام مجموع زاويتين وجيب تمام الفرق بينهما يساوي ضعف حاصل ضرب جيبي تمامهما.
كيف تحلّه؟
اكتب مفكوك جيب تمام المجموع ومفكوك جيب تمام الفرق من القوانين، ثم اجمعهما. حدّا الجيب يحمل كل منهما إشارة معاكسة فيختصران.
- 1cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- 2cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
- 3Adding: 2cos A cos B
Answercos(A + B) + cos(A − B) = 2cos A cos B shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب «بيّن أن» مجموع جيبي تمام زاويتين يساوي ضعف جيب تمام نصف مجموعهما في جيب تمام نصف الفرق بينهما.
كيف تحلّه؟
سمِّ المجموع في الجزء الأول زاوية جديدة والفرق زاوية أخرى. حلّ هاتين المعادلتين لتعبّر عن الزاويتين الأصليتين بدلالة الجديدتين: نصف المجموع ونصف الفرق. ثم عوّض في نتيجة الجزء الأول.
- 1Let A + B = P and A − B = Q
- 2A = (P + Q)/2, B = (P − Q)/2
- 3Substitute into (a): cos P + cos Q = 2cos((P + Q)/2)cos((P − Q)/2)
Answercos P + cos Q = 2cos((P + Q)/2)cos((P − Q)/2) shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب حل معادلة مجموع جيب تمام خمسة أمثال ثيتا وجيب تمام سبعة أمثالها يساوي صفرًا، في الفترة من صفر إلى نصف باي، والحلول بدلالة باي.
كيف تحلّه؟
استخدم نتيجة الجزء الثاني لتحويل المجموع إلى حاصل ضرب جيبي تمام. حاصل الضرب صفر يعني أن أحد العاملين صفر. للعامل ذي الزاوية المضاعفة وسّع الفترة بالضرب في المعامل قبل إيجاد الزوايا، ثم اقسم. الفخ: فقدان حلول بعدم توسيع الفترة، أو نسيان حل العامل الثاني.
- 1cos 5θ + cos 7θ = 2cos 6θ cos θ = 0
- 2cos 6θ = 0 ⇒ 6θ = π/2, 3π/2, 5π/2 ⇒ θ = π/12, π/4, 5π/12
- 3cos θ = 0 ⇒ θ = π/2
Answerθ = π/12, π/4, 5π/12, π/2
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» جيب تمام ثمانية أمثال السين زائد ضعف جيب تمام ستة أمثالها زائد جيب تمام أربعة أمثالها يساوي أربعة في جيب تمام ستة أمثال السين في مربع جيب تمام السين.
كيف تحلّه؟
قسّم الحد الأوسط إلى نصفين، وكوّن زوجين: الأول مع الأوسط، والأوسط مع الأخير. طبّق قانون الجزء الثاني على كل زوج، ثم أخرج جيب تمام السين عاملًا مشتركًا، وطبّق القانون مرة أخرى على ما في القوس.
- 1(cos 8x + cos 6x) + (cos 6x + cos 4x) = 2cos 7x cos x + 2cos 5x cos x
- 2= 2cos x(cos 7x + cos 5x)
- 3= 2cos x × 2cos 6x cos x
- 4= 4cos 6x cos²x
Answercos 8x + 2cos 6x + cos 4x = 4cos 6x cos²x shown
الجزء (e) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «استخدم التفاضل والتكامل» لإيجاد القيمة الدقيقة لتكامل جيب تمام ستة أمثال السين في مربع جيب تمام السين، من صفر إلى ثلث باي.
كيف تحلّه؟
من الجزء السابق، المقدار المطلوب يساوي ربع مجموع جيوب التمام الثلاثة، وكل منها سهل التكامل: تكامل جيب تمام مضاعف الزاوية هو الجيب مقسومًا على المعامل. عوّض بالحدين واستخدم قيم الجيب الدقيقة للزوايا الخاصة. الفخ: الخطأ في إشارة جيب الزوايا في الربعين الثالث والرابع.
- 1cos 6x cos²x = (1/4)(cos 8x + 2cos 6x + cos 4x)
- 2∫ = (1/4)[(1/8)sin 8x + (1/3)sin 6x + (1/4)sin 4x] from 0 to π/3
- 3= (1/4)[(1/8)sin(8π/3) + (1/3)sin 2π + (1/4)sin(4π/3)]
- 4= (1/4)[√3/16 + 0 − √3/8] = −√3/64
Answer−√3/64
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara