حل السؤال 9، 4PM1/02 يونيو 2020: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته الصاد تساوي كسرًا بسطه تربيعي في السين ومقامه خطي. المطلوب إعادة كتابة المعادلة على صورة معادلة تربيعية في السين معاملاتها بدلالة الصاد كما هو مطلوب، وإيجاد الأعداد الصحيحة.
كيف تحلّه؟
اضرب الطرفين في المقام، ووزّع الصاد. انقل كل الحدود إلى طرف واحد، ثم رتّبها حسب قوى السين: مربع السين، ثم الحدود التي فيها السين بإخراجها عاملًا مشتركًا، ثم الحد الخالي من السين. قارن مع الصورة المعطاة.
- 1y(2x + 1) = 2 + 4x − x²
- 22xy + y = 2 + 4x − x²
- 3x² + (2y − 4)x + (y − 2) = 0
Answerx² + (2y − 4)x + (y − 2) = 0, so a = 1, b = 2, c = 2
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المعادلة التربيعية في السين. المطلوب «بيّن أن» السين حقيقية عندما تكون الصاد في المدى المعطى (أصغر من أو تساوي قيمة، أو أكبر من أو تساوي أخرى).
كيف تحلّه؟
لكي يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية يجب أن يكون المميز غير سالب. اكتب المميز بدلالة الصاد، وفكّ ورتّب لتحصل على متباينة تربيعية في الصاد. حلّلها وأوجد القيمتين الحرجتين، والمتباينة أكبر من أو تساوي صفرًا تعني خارج الجذرين.
- 1x real ⇒ b² ≥ 4ac: (2y − 4)² ≥ 4(y − 2)
- 24y² − 16y + 16 − 4y + 8 ≥ 0 ⇒ 4y² − 20y + 24 ≥ 0
- 34(y − 2)(y − 3) ≥ 0
- 4y ≤ 2 or y ≥ 3
Answerx real ⇒ y ≤ 2 or y ≥ 3 shown
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى الكسري نفسه، المطلوب إحداثيات النقاط الثابتة عليه، أي النقاط التي تكون فيها مشتقة الصاد بالنسبة للسين صفرًا.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة، واجعل البسط يساوي صفرًا لأن الكسر يساوي صفرًا عندما يساوي بسطه صفرًا. بسّط ورتّب وحلّل لتجد قيم السين، ثم عوّض في معادلة المنحنى لتجد الصاد. لاحظ أن الصادات الناتجة توافق حدود الجزء السابق.
- 1dy/dx = [(4 − 2x)(2x + 1) − 2(2 + 4x − x²)]/(2x + 1)²
- 2dy/dx = 0 ⇒ (4 − 2x)(2x + 1) − 2(2 + 4x − x²) = 0
- 3−2x² − 2x = 0 ⇒ 2x(x + 1) = 0 ⇒ x = 0 or −1
- 4Stationary points (0, 2) and (−1, 3)
Answer(0, 2) and (−1, 3)
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم المنحنى مع إظهار: الإحداثيات الدقيقة لتقاطعه مع محور السينات، وخط التقارب الرأسي، وإحداثيات النقاط الثابتة.
كيف تحلّه؟
تقاطع محور السينات: اجعل البسط صفرًا وحلّ بالقانون العام واترك الجذر. خط التقارب الرأسي حيث المقام صفر. من الجزء الثاني لا يوجد منحنى بين القيمتين، فأحد الفرعين فوق القيمة الكبرى وفيه النقطة الصغرى، والآخر تحت القيمة الصغرى وفيه النقطة العظمى.
- 12 + 4x − x² = 0 ⇒ x = 2 ± √6 (≈ −0.45 and 4.45)
- 2Vertical asymptote x = −1/2
- 3Left of x = −1/2 the curve lies above y = 3 with a minimum at (−1, 3)
- 4Right of x = −1/2 the curve lies below y = 2 with a maximum at (0, 2)
AnswerTwo branches with vertical asymptote x = −1/2: left branch above y = 3 with minimum (−1, 3); right branch below y = 2 with maximum (0, 2), crossing the x-axis at (2 − √6, 0) and (2 + √6, 0)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara