حل السؤال 11، 4PM1/02 يونيو 2022: الدوال النسبية والمقاربات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر بسطه ومقامه خطيان بدلالة عدد ثابت. المطلوب مشتقة الصاد بالنسبة للسين بدلالة الثابت.
كيف تحلّه؟
استخدم قاعدة القسمة: المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، والكل مقسوم على مربع المقام. مشتقة كل من البسط والمقام هي معامل السين فيه. الفخ: عكس ترتيب الطرح في البسط.
- 1Quotient rule: u = (2a − 1)x + 1, u′ = 2a − 1; v = ax − 6, v′ = a
- 2dy/dx = ((2a − 1)(ax − 6) − a((2a − 1)x + 1))/(ax − 6)²
Answerdy/dx = ((2a − 1)(ax − 6) − a((2a − 1)x + 1))/(ax − 6)²
الجزء (bi) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى يقطع محور الصادات في نقطة، والعمودي على المماس (الناظم) عندها خط معادلته معطاة. المطلوب «بيّن أن» الثابت يساوي ثلاثة.
كيف تحلّه؟
اجعل الصاد موضوع القانون في معادلة الناظم لتجد ميله، وميل المماس سالب مقلوبه. عوّض بالسين صفرًا في المشتقة من الجزء الأول لأن النقطة على محور الصادات، وساوِ الناتج بميل المماس، ثم حلّ المعادلة الخطية في الثابت. الفخ: مساواة المشتقة بميل الناظم نفسه.
- 1Normal gradient = 72/66 = 12/11, so tangent gradient at A = −11/12
- 2At x = 0: dy/dx = (−6(2a − 1) − a)/36 = (−13a + 6)/36
- 3(−13a + 6)/36 = −11/12 ⇒ −13a + 6 = −33
- 4a = 3
Answera = 3 shown
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» معادلة المنحنى بعد التعويض بالثابت تصبح الصورة المعطاة، مع القيمة المستثناة للسين.
كيف تحلّه؟
عوّض بثلاثة مكان الثابت في معادلة المنحنى الأصلية وبسّط البسط، ثم بيّن أن شرط استثناء السين يصبح أنها لا تساوي اثنين. اكتب التعويض صراحة لأنه سؤال إثبات.
- 1Substitute a = 3: y = ((2 × 3 − 1)x + 1)/(3x − 6) = (5x + 1)/(3x − 6), x ≠ 6/3 = 2
Answery = (5x + 1)/(3x − 6) shown
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم تقريبي للمنحنى، مع إظهار خطي التقارب ومعادلتيهما بوضوح، وإحداثيات نقطتي قطع المحورين.
كيف تحلّه؟
خط التقارب الرأسي حيث المقام صفر. والأفقي هو ما تقترب منه الصاد حين تكبر السين جدًا: نسبة معامل السين في البسط إلى معامله في المقام. للقطع مع محور السينات ضع البسط صفرًا، ومع محور الصادات ضع السين صفرًا. ارسم الخطين متقطعين ثم فرعين يقتربان منهما، وتأكد أن نقطتي القطع على الفرع الصحيح. الخطأ الشائع: عدم كتابة معادلات خطوط التقارب على الرسم.
- 1Vertical asymptote: 3x − 6 = 0 ⇒ x = 2
- 2Horizontal asymptote: y → 5/3 as x → ±∞
- 3x-intercept: 5x + 1 = 0 ⇒ (−1/5, 0); y-intercept: (0, −1/6)
- 4Sketch the two branches approaching the asymptotes
AnswerTwo-branch curve with asymptotes x = 2 and y = 5/3; one branch in the first quadrant (right of x = 2, above y = 5/3), the other through quadrants 2, 3 and 4 crossing the axes at (−1/5, 0) and (0, −1/6)
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الناظم يقطع المنحنى مرة أخرى في نقطة جديدة. المطلوب الإحداثي السيني لهذه النقطة على صورة كسر غير حقيقي (بسطه أكبر من مقامه).
كيف تحلّه؟
اكتب الناظم على صورة الصاد تساوي، وساوِه بمعادلة المنحنى. اضرب في المقامات لتحصل على معادلة تربيعية، وستجد أن الحد الثابت يختفي. أحد الجذرين صفر وهو نقطة القطع مع محور الصادات المعروفة، فالجذر الآخر هو المطلوب. الفخ: أخطاء الضرب عند إزالة الكسور.
- 1l: y = (12/11)x − 1/6
- 2(12/11)x − 1/6 = (5x + 1)/(3x − 6)
- 3(3x − 6)(72x − 11) = 66(5x + 1) ⇒ 72x² − 265x = 0
- 4x(72x − 265) = 0; x = 0 is A, so x = 265/72
Answerx = 265/72
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال النسبية والمقاربات بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال النسبية والمقاربات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara