حل السؤال 11، 4PM1/02R يونيو 2022: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: أسطوانة معدنية مصمتة نصف قطرها نق وارتفاعها ع، ومساحتها الكلية معلومة. المطلوب «بيّن أن» حجمها يساوي ثلاثمئة نق ناقص النسبة التقريبية في مكعب نق.
كيف تحلّه؟
اكتب المساحة الكلية: مساحتا القاعدتين الدائريتين زائد المساحة الجانبية، وساوِها بالقيمة المعطاة. اجعل الارتفاع موضوع القانون. ثم عوّض في قانون حجم الأسطوانة (مساحة القاعدة في الارتفاع) وبسّط حتى تصل إلى الصيغة المطلوبة. الفخ: نسيان إحدى القاعدتين في المساحة الكلية.
- 12πr² + 2πrh = 600, so πr² + πrh = 300
- 2h = (300 − πr²)/(πr)
- 3V = πr²h = πr² × (300 − πr²)/(πr)
- 4V = r(300 − πr²) = 300r − πr³
AnswerV = 300r − πr³ shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نصف القطر متغير. أولًا: باستخدام التفاضل «بيّن أن» القيمة الدقيقة لنصف القطر التي تجعل الحجم أكبر ما يمكن هي جذر (مئة على النسبة التقريبية). ثانيًا: «علّل» أن هذه القيمة تعطي قيمة عظمى.
كيف تحلّه؟
اشتق الحجم بالنسبة لنصف القطر وساوِ المشتقة بالصفر، ثم حل لمربع نصف القطر وخذ الجذر الموجب لأن الطول موجب. للتعليل: احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها سالبة عند هذه القيمة، فالنقطة قيمة عظمى. اكتب الاستنتاج في جملة.
- 1dV/dr = 300 − 3πr²
- 2300 − 3πr² = 0, r² = 100/π
- 3r = √(100/π) (r > 0)
- 4d²V/dr² = −6πr
- 5At r = √(100/π), d²V/dr² = −6π√(100/π) ≈ −106.3 < 0, so V is a maximum
Answer(i) dV/dr = 300 − 3πr² = 0 gives r = √(100/π) — shown (ii) d²V/dr² = −6πr < 0 for r > 0, so maximum
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تُصهر الأسطوانة ويُعاد تشكيلها كرةً. المطلوب أكبر نصف قطر ممكن للكرة، لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
أكبر كرة تأتي من أكبر حجم للأسطوانة. عوّض نصف القطر من الجزء السابق في قانون الحجم لتجد الحجم الأعظم. ساوِه بحجم الكرة (أربعة أثلاث النسبة التقريبية في مكعب نصف القطر)، ثم حل لمكعب نصف القطر وخذ الجذر التكعيبي. الفخ: تقريب الحجم مبكرًا فيتغير الرقم الأخير.
- 1Maximum V = 300√(100/π) − π(√(100/π))³ = 1128.38…
- 2(4/3)πp³ = 1128.38…
- 3p³ = 269.38…
- 4p = 6.5 cm
Answerp = 6.5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara