حل السؤال 10، 4PM1/02R يونيو 2022: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر، بسطه ومقامه عبارتان خطيتان في السين. المطلوب معادلة خط التقارب الموازي لمحور الصادات، ومعادلة خط التقارب الموازي لمحور السينات.
كيف تحلّه؟
خط التقارب الرأسي عند قيمة السين التي تجعل المقام صفرًا. خط التقارب الأفقي هو القيمة التي تقترب منها الصاد عندما تكبر السين جدًا، وهي معامل السين في البسط مقسومًا على معامل السين في المقام. الفخ: الخلط بين الخطين، أو كتابة عدد فقط دون «السين تساوي» أو «الصاد تساوي».
- 1Vertical asymptote where 2x − 3 = 0: x = 3/2
- 2Horizontal asymptote: y → 7/2 as x → ±∞
Answer(i) x = 3/2 (ii) y = 7/2
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى نفسه: كسر بسطه سبعة أمثال السين ناقص اثنين ومقامه ضعف السين ناقص ثلاثة. المطلوب إحداثيات نقطتي تقاطعه مع محوري الإحداثيات.
كيف تحلّه؟
للتقاطع مع محور السينات ضع الصاد صفرًا، أي اجعل البسط صفرًا وحل. للتقاطع مع محور الصادات ضع السين صفرًا واحسب قيمة الكسر. اكتب كل جواب نقطةً بإحداثييها. الفخ: تبديل ترتيب الإحداثيين عند كتابة النقطة.
- 1y = 0: 7x − 2 = 0, x = 2/7
- 2x = 0: y = (−2)/(−3) = 2/3
Answer(2/7, 0) and (0, 2/3)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى الكسري نفسه، المطلوب باستخدام التفاضل أن «تبيّن أن» ميله سالب عند كل نقطة عليه، أي أن المشتقة سالبة لكل قيم السين المسموحة.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة: المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام، والكل على مربع المقام. ستجد أن حدود السين في البسط تختفي ويبقى عدد سالب. ثم علّل بالكلام: المقام مربع فهو موجب دائمًا، والبسط سالب، إذن الميل سالب. الفخ: ترك الاستنتاج دون تعليل.
- 1dy/dx = [7(2x − 3) − 2(7x − 2)]/(2x − 3)²
- 2= (14x − 21 − 14x + 4)/(2x − 3)²
- 3= −17/(2x − 3)²
- 4(2x − 3)² > 0 for x ≠ 3/2 and the numerator is negative, so the gradient is always negative
Answerdy/dx = −17/(2x − 3)², which is always negative — shown
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم تقريبي للمنحنى على المحاور المعطاة، مع رسم خطّي التقارب وكتابة معادلتيهما، وكتابة إحداثيات نقطتي التقاطع مع المحورين.
كيف تحلّه؟
ارسم خطّي التقارب متقطعين. المنحنى فرعان كلاهما متناقص (من الجزء السابق): فرع فوق خط التقارب الأفقي وعلى يمين الرأسي، وفرع تحت الأفقي وعلى يسار الرأسي يمر بنقطتي التقاطع مع المحورين. اجعل الفرعين يقتربان من الخطين دون أن يلمساهما. الفخ: جعل المنحنى يعبر خط التقارب.
- 1Draw dashed asymptotes x = 3/2 and y = 7/2
- 2Top-right branch: decreasing towards both asymptotes
- 3Bottom-left branch: decreasing, through (0, 2/3) and (2/7, 0), dropping down to x = 3/2
AnswerTwo branches: one above y = 7/2 and to the right of x = 3/2; the other below y = 7/2 and left of x = 3/2, crossing the axes at (0, 2/3) and (2/7, 0); asymptotes x = 3/2 and y = 7/2 drawn and labelled
الجزء (e) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
العمودي (الناظم) على المنحنى عند نقطة إحداثيها السيني موجب ميله سبعة عشر، وهو يقطع المنحنى مرة أخرى في نقطة ثانية. المطلوب إحداثيات النقطة الثانية «بالقيمة الدقيقة».
كيف تحلّه؟
ميل المماس عند النقطة هو سالب مقلوب ميل العمودي. ساوِ المشتقة من الجزء (ج) بهذا الميل لتجد السين، واختر القيمة الموجبة، ثم احسب الصاد. اكتب معادلة العمودي. ساوِها بمعادلة المنحنى واضرب في المقام فتحصل على معادلة تربيعية؛ أحد جذريها هو النقطة الأولى المعروفة، فاستخدمه في التحليل وخذ الآخر. الفخ: استخدام ميل العمودي نفسه بدل ميل المماس.
- 1Gradient of curve at A = −1/17: −17/(2x − 3)² = −1/17
- 2(2x − 3)² = 289, 2x − 3 = 17 (x > 0), so x = 10, y = 4: A(10, 4)
- 3Normal: y − 4 = 17(x − 10), so y = 17x − 166
- 417x − 166 = (7x − 2)/(2x − 3)
- 517x² − 195x + 250 = 0, (x − 10)(17x − 25) = 0
- 6x = 25/17, y = 17(25/17) − 166 = −141
AnswerB(25/17, −141)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara