حل السؤال 11، 4PM1/02 يونيو 2023: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية جذراها ألفا وبيتا موجبان والأكبر ألفا. أُعطي الفرق بينهما (ضعف جذر ستة) ومجموع مربعيهما. المطلوب «بيّن أن» حاصل ضرب الجذرين يساوي ثلاثة.
كيف تحلّه؟
ربّع الفرق المعطى. اكتب مربع الفرق على صورة مربع المجموع ناقص أربعة أضعاف الضرب، واكتب مجموع المربعين على صورة مربع المجموع ناقص ضعف الضرب. اطرح العلاقتين فيختفي مربع المجموع ويبقى الضرب. طريق أقصر: مربع الفرق يساوي مجموع المربعين ناقص ضعف الضرب. الفخ: نسيان تربيع الاثنين مع الجذر.
- 1(α − β)² = 24, so (α + β)² − 4αβ = 24
- 2α² + β² = 30, so (α + β)² − 2αβ = 30
- 3Subtract: 2αβ = 6
- 4αβ = 3
Answerαβ = 3 shown
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام حاصل الضرب من الجزء السابق ومجموع المربعين المعطى، المطلوب «بيّن أن» مجموع الجذرين يساوي ستة.
كيف تحلّه؟
مربع المجموع يساوي مجموع المربعين زائد ضعف الضرب؛ عوّض بالمعطى ونتيجة الجزء السابق، ثم خذ الجذر التربيعي واختر الموجب مع ذكر السبب: الجذران كلاهما موجبان. الفخ: عدم تبرير رفض الإشارة السالبة.
- 1(α + β)² = α² + β² + 2αβ = 30 + 6 = 36
- 2α > β > 0, so α + β = 6
Answerα + β = 6 shown
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«دون حل المعادلة» أي دون إيجاد الجذرين نفسيهما، المطلوب قيمة مجموع القوة الرابعة لكل من الجذرين.
كيف تحلّه؟
مجموع القوى الرابعة يساوي مربع مجموع المربعين ناقص ضعف مربع حاصل الضرب. عوّض بمجموع المربعين المعطى وبحاصل الضرب. الفخ: نسيان تربيع حاصل الضرب، أو استخدام مربع المجموع بدل مجموع المربعين.
- 1α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2(αβ)²
- 2= 900 − 18 = 882
Answer882
الجزء (bii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
دون حل المعادلة أيضًا، المطلوب القيمة الدقيقة للفرق بين القوة الرابعة للجذر الأكبر والقوة الرابعة للجذر الأصغر.
كيف تحلّه؟
هذا فرق بين مربعين: حلّله إلى (مجموع المربعين) في (فرق المربعين)، ثم حلّل فرق المربعين إلى (الفرق) في (المجموع). كل هذه القيم معلومة من المعطيات والجزء الأول، فاضربها واترك الجذر كما هو. الفخ: التقريب العشري بدل القيمة الدقيقة.
- 1α⁴ − β⁴ = (α² + β²)(α² − β²) = (α² + β²)(α − β)(α + β)
- 2= 30 × 2√6 × 6 = 360√6
Answer360√6
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
إذا كانت القوة الرابعة للجذر الأكبر تساوي عددًا صحيحًا موجبًا زائد عدد صحيح موجب مضروبًا في جذر ستة، المطلوب هذان العددان.
كيف تحلّه؟
اجمع نتيجتي الجزأين السابقين (مجموع القوتين وفرقهما): تختفي القوة الرابعة للجذر الأصغر ويبقى ضعف القوة الرابعة للأكبر. اقسم على اثنين، ثم قارن الجزء الصحيح والجزء المضروب في جذر ستة بالصورة المعطاة.
- 1Add: 2α⁴ = 882 + 360√6
- 2α⁴ = 441 + 180√6
- 3P = 441, Q = 180
AnswerP = 441, Q = 180
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara