حل السؤال 10، 4PM1/02 يونيو 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر بسطه ومقامه خطيان. المطلوب إحداثيات نقطة قطعه مع محور السينات ونقطة قطعه مع محور الصادات.
كيف تحلّه؟
للقطع مع محور السينات ضع الصاد صفرًا، أي البسط صفرًا. وللقطع مع محور الصادات ضع السين صفرًا واحسب الكسر. انتبه للإشارة عند القسمة على عدد سالب.
- 1y = 0: 6 − 3x = 0, x = 2, so P(2, 0)
- 2x = 0: y = 6/(−4) = −3/2, so Q(0, −3/2)
Answer(i) P(2, 0) (ii) Q(0, −3/2)
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «اكتب» معادلتي خطي التقارب: الموازي لمحور الصادات، والموازي لمحور السينات.
كيف تحلّه؟
الرأسي حيث يصبح المقام صفرًا. والأفقي هو القيمة التي تقترب منها الصاد حين تكبر السين جدًا: نسبة معامل السين في البسط إلى معامله في المقام مع الإشارة. الفخ: أخذ الحدود الثابتة بدل معاملات السين.
- 1Vertical asymptote where x − 4 = 0: x = 4
- 2As x → ±∞, y → −3x/x = −3
Answer(i) x = 4 (ii) y = −3
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم المنحنى تقريبيًا، مع إظهار خطي التقارب ومعادلتيهما وإحداثيات نقطتي القطع مع المحورين.
كيف تحلّه؟
ارسم خطي التقارب متقطعين واكتب معادلتيهما. ضع نقطتي القطع من الجزء الأول، ولاحظ أنهما على الفرع نفسه، ثم ارسم ذلك الفرع يقترب من خطي التقارب دون أن يقطعهما، وارسم الفرع الآخر في الجهة المقابلة بالنسبة لنقطة تقاطع الخطين. الفخ: جعل الفرع يقطع خط التقارب.
- 1Draw dashed asymptotes x = 4 and y = −3
- 2Left branch rises from near y = −3 through (0, −3/2) and (2, 0) up towards x = 4
- 3Right branch comes up from below near x = 4 towards y = −3
AnswerTwo branches with asymptotes x = 4 and y = −3: one branch top-left (above y = −3, left of x = 4) passing through Q(0, −3/2) and P(2, 0); the other bottom-right (below y = −3, right of x = 4)
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الناظم (العمودي على المماس) للمنحنى عند النقطة التي سينها اثنان. المطلوب معادلة هذا الناظم.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة وبسّط البسط فستجده عددًا ثابتًا. عوّض بالسين لتجد ميل المماس، وتذكّر أن هذه النقطة هي نقطة القطع مع محور السينات فالصاد صفر. ميل الناظم سالب مقلوب ميل المماس، ثم استخدم صيغة النقطة والميل. الفخ: استخدام ميل المماس نفسه.
- 1dy/dx = [−3(x − 4) − (6 − 3x)]/(x − 4)² = 6/(x − 4)²
- 2At x = 2: dy/dx = 6/4 = 3/2, and y = 0
- 3Gradient of normal = −2/3
- 4y − 0 = −(2/3)(x − 2)
- 53y = −2x + 4
Answer3y = −2x + 4
الجزء (e) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الناظم يقطع المنحنى مرة أخرى في نقطة ثانية. المطلوب الإحداثي السيني لهذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلة الناظم بمعادلة المنحنى، واضرب في المقامين لتحصل على معادلة تربيعية. أحد جذريها هو السين المعروفة من الجزء السابق، فاستعمله للتحليل، والجذر الآخر هو المطلوب. الفخ: إعطاء الجذر المعروف إجابةً.
- 1(6 − 3x)/(x − 4) = (−2x + 4)/3
- 23(6 − 3x) = (x − 4)(−2x + 4), so 2x² − 21x + 34 = 0
- 3(2x − 17)(x − 2) = 0
- 4x = 2 is the given point, so at R, x = 17/2
Answerx = 17/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara