حل السؤال 11، 4PM1/02R يونيو 2024: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب باستخدام قانون من صفحة القوانين «بيّن أن» جيب تمام ضعف الزاوية يساوي ضعف مربع جيب التمام ناقص واحد.
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون جيب تمام مجموع زاويتين، واجعل الزاويتين متساويتين، فيصير مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. ثم استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام وبسّط.
- 1cos(A + A) = cos A cos A − sin A sin A
- 2cos 2A = cos²A − (1 − cos²A) = 2cos²A − 1
Answercos 2A = 2cos²A − 1 shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب «بيّن أن» مربع (ضعف مربع جيب التمام ناقص واحد) يساوي (جيب تمام أربعة أمثال الزاوية زائد واحد) على اثنين.
كيف تحلّه؟
من الجزء السابق ما داخل القوس هو جيب تمام ضعف الزاوية، فالمطلوب مربعه. طبّق النتيجة نفسها على ضعف الزاوية: جيب تمام أربعة أمثالها يساوي ضعف مربع جيب تمام ضعفها ناقص واحد. ثم اجعل المربع موضوع القانون.
- 1(2cos²A − 1)² = (cos 2A)²
- 2cos 4A = 2cos²2A − 1, so cos²2A = (cos 4A + 1)/2
- 3(2cos²A − 1)² = (cos 4A + 1)/2
Answer(2cos²A − 1)² = (cos 4A + 1)/2 shown
الجزء (c) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى فيه نصف جيب ضعف السين ونصف مربع العبارة من الجزء (ب) وثابت، وله نقطة ثابتة في المجال من صفر إلى سدس النسبة التقريبية. المطلوب الإحداثيات الدقيقة لهذه النقطة.
كيف تحلّه؟
استبدل المربع بالصيغة من الجزء (ب) فيسهل الاشتقاق. اشتق وساوِ بالصفر. اكتب جيب أربعة أمثال السين على صورة ضعف جيب الضعف في جيب تمام الضعف، ثم أخرج جيب تمام الضعف عاملًا. في المجال المعطى جيب تمام الضعف لا يساوي صفرًا، فالعامل الآخر يعطي السين. عوّض لتجد الصاد بالقيم الدقيقة. الفخ: نسيان المعامل من قاعدة السلسلة.
- 1y = (sin 2x)/2 + (cos 4x)/4 + 3/8
- 2dy/dx = cos 2x − sin 4x
- 3= cos 2x − 2sin 2x cos 2x = cos 2x(1 − 2sin 2x) = 0
- 4In 0 ≤ x ≤ π/6, cos 2x ≠ 0, so sin 2x = 1/2, x = π/12
- 5y = (1/2)(1/2) + (1/4)(1/2) + 3/8 = 3/4
AnswerP(π/12, 3/4)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara