حل السؤال 6، 0580/42 فبراير/مارس 2021: الدوال المقلوبة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك منحنى معادلته تحتوي على ثابتين مجهولين، ويمر بنقطتين معلومتين. المطلوب: أوجد قيمة كل من الثابتين.
كيف تحلّه؟
نعوّض إحداثيي النقطة التي على المحور الصادي في المعادلة، فيختفي الحد الذي فيه مربع س ونحصل على الثابت الأول مباشرة. ثم نعوّض النقطة الثانية مع الثابت الذي وجدناه ونحل لإيجاد الثابت الثاني. انتبه للإشارة، فالثابت الثاني قد يكون سالبًا.
- 1At (0, 4): 4 = a + b × 0 so a = 4
- 2At (1, 1): 1 = 4 + b so b = −3
- 3a = 4, b = −3
Answera = 4, b = −3
الجزء (aii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك رسم لمنحنى يمرّ بنقطتين معلومتين. المطلوب كتابة معادلة المماس للمنحنى عند النقطة الواقعة على محور الصادات. عبارة «اكتب» تعني أن الجواب مباشر ولا يحتاج إلى خطوات حساب طويلة.
كيف تحلّه؟
هذه النقطة هي قمة المنحنى، والمماس عند القمة أفقي أي ميله صفر. المستقيم الأفقي معادلته «ص تساوي عددًا ثابتًا»، وهذا العدد هو الإحداثي الصادي للنقطة.
- 1(0, 4) is the highest point, so the tangent is horizontal
- 2y = 4
Answery = 4
الجزء (aiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
تُعطى معادلة المماس للمنحنى عند نقطة على يسار محور الصادات. المطلوب إيجاد معادلة المماس عند النقطة المقابلة لها على يمين المحور.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن المنحنى متماثل حول محور الصادات، فيكون ميل المماس في الجهة المقابلة مساويًا للميل المعطى لكن بإشارة معاكسة. ثم نعوّض إحداثيي النقطة المعلومة على المنحنى في معادلة المستقيم لإيجاد المقطع الصادي. الفخّ: نسيان تغيير إشارة الميل.
- 1The curve is symmetrical about the y-axis, so the gradient at x = 1 is −6
- 2Tangent passes through (1, 1): 1 = −6 × 1 + c, c = 7
- 3y = −6x + 7
Answery = −6x + 7
الجزء (bi) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك جدول قيم للدالة المعطاة، وبعض قيم ص فيه فارغة. المطلوب أن تكمل الجدول بحساب قيمة ص لكل قيمة من قيم س الناقصة.
كيف تحلّه؟
عوّض كل قيمة من قيم س الناقصة في الدالة. احسب أولًا ما داخل القوس في المقام، ثم اقسم عليه، ثم أضف الواحد. انتبه عند طرح عدد سالب داخل القوس، فطرح السالب يصبح جمعًا. قرّب الناتج كما في القيم الموجودة في الجدول.
- 1x = −1: 1 + 5/4 = 2.25
- 2x = 0: 1 + 5/3 = 2.67
- 3x = 1: 1 + 5/2 = 3.5
Answer| x | −2 | −1.5 | −1 | −0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | | y | 2 | 2.11 | 2.25 | 2.43 | 2.67 | 3 | 3.5 | 4.33 |
الجزء (bii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أن ترسم منحنى الدالة على الشبكة في المدى المحدد لقيم س. كلمة «ارسم» هنا تعني رسمًا دقيقًا باستخدام نقاط الجدول بعد إكماله.
كيف تحلّه؟
عيّن كل نقاط الجدول على الشبكة بدقة، كل قيمة س مع قيمة ص المقابلة لها. ثم صِل النقاط بمنحنى أملس متصل يزداد ارتفاعًا، وليس بخطوط مستقيمة بين النقاط. لا تمدّ المنحنى خارج المدى المطلوب.
- 1Plot (−2, 2), (−1.5, 2.11), (−1, 2.25), (−0.5, 2.43), (0, 2.67), (0.5, 3), (1, 3.5), (1.5, 4.33)
- 2Join with a smooth increasing curve
Answercorrect curve
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك منحنيان على الشبكة نفسها، وإن لم يكن أحدهما مرسومًا فارسمه أولًا. المطلوب أن تكتب قيم س عند نقاط تقاطع المنحنيين. كلمة «اكتب» تعني أنك تقرأ الإجابة من الرسم مباشرة دون خطوات حل.
كيف تحلّه؟
حدّد النقاط التي يلتقي فيها المنحنيان على الرسم، ثم انزل من كل نقطة عموديًا إلى محور السينات واقرأ قيمة س. هناك أكثر من نقطة تقاطع، فلا تكتفِ بواحدة. انتبه إلى تدريج المحور حتى تقرأ القيمة بدقة، والإجابة مقبولة ضمن مدى قريب.
- 1Read the x-values where the two curves cross
- 2x ≈ −0.75 and x ≈ 0.56
Answer−0.78 to −0.72, 0.55 to 0.59
الجزء (cii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حلّا الجزء السابق هما نقطتا تقاطع المنحنيين المعطيين. المطلوب أن تكوّن معادلة تكعيبية تحققها هذه الحلول، وتكتبها في الصورة المعطاة حيث المعاملات كلها أعداد صحيحة، أي بلا كسور.
كيف تحلّه؟
عند نقاط التقاطع تتساوى قيمتا «ص» في المعادلتين، فساوِ بين الطرفين الأيمنين. انقل الحد الثابت ليبقى الكسر وحده، ثم اضرب الطرفين في مقام الكسر لتتخلص منه. فُكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة وانقل كل شيء إلى طرف واحد ليصبح الطرف الآخر صفرًا. انتبه لإشارات السالب عند فك القوس.
- 1Part (c)(i) finds where y = 1 + 5/(3 − x) meets y = 4 − 3x²
- 2So 1 + 5/(3 − x) = 4 − 3x², giving 5/(3 − x) = 3 − 3x²
- 3Multiply by (3 − x): 5 = 9 − 3x − 9x² + 3x³
- 4Rearrange: 3x³ − 9x² − 3x + 4 = 0
Answer3x³ − 9x² − 3x + 4 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الدوال المقلوبة بالعربي
تدرّب على أسئلة الدوال المقلوبة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara