حل السؤال 5، 0580/43 مايو/يونيو 2024: حل المعادلات بالطرق البيانية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 43 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يعرض منحنى الدالة د. المطلوب إيجاد قيمة الدالة عندما تساوي س اثنين، أي قراءة قيمة ص على المنحنى عند هذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ابدأ من القيمة المعطاة على محور السينات، واصعد عموديًا حتى تصل إلى المنحنى، ثم اتجه أفقيًا إلى محور الصادات واقرأ القيمة.
- 1Go up from x = 2 to the curve and across: f(2) = 3
Answer3
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يعرض منحنى الدالة د. المطلوب استخدام الرسم لإيجاد كل قيم س التي تكون عندها قيمة الدالة خمسة.
كيف تحلّه؟
ارسم خطًا أفقيًا عند القيمة المطلوبة على محور الصادات عبر الشبكة كلها، ثم حدّد كل نقاط تقاطعه مع المنحنى واقرأ قيمة س لكل منها. انتبه: للمنحنى فرعان، والخط يقطع الفرع الأيسر مرتين والفرع الأيمن مرة، فلا تنسَ أيًا منها.
- 1Draw the line y = 5 across the grid
- 2It meets the left branch at x = −2 and x = −0.42
- 3It meets the right branch at x = 2.42
Answer−2, −0.45 to −0.4, 2.40 to 2.45
الجزء (aiii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المعادلة التي تكون فيها قيمة الدالة مساوية لعدد ثابت يرمز له بالحرف ك لها حلان فقط بالضبط. المطلوب أن تكتب قيمة هذا العدد من الرسم.
كيف تحلّه؟
تخيّل خطًا أفقيًا يتحرك صعودًا ونزولًا؛ عدد الحلول هو عدد مرات قطعه للمنحنى. الفرع الأيمن يقطعه الخط دائمًا مرة واحدة، لذلك يجب أن يلمس الخط الفرع الأيسر مرة واحدة فقط، وهذا يحدث عند أدنى نقطة فيه. اقرأ قيمة ص عند هذه النقطة.
- 1A horizontal line cutting the curve exactly twice must touch the minimum of the left branch
- 2The minimum point is at y = 3, so k = 3
Answer3
الجزء (aiv) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
اختر الكلمة الصحيحة من الصندوق لتكمل الجملة عن الخط الذي تكون عليه س صفرًا، أي محور الصادات. معاني الكلمات: مماس، خط تقارب، جذر، عمودي.
كيف تحلّه؟
انظر كيف يتصرف المنحنى قرب محور الصادات. المنحنى يقترب من هذا الخط أكثر فأكثر لكنه لا يلمسه ولا يقطعه أبدًا. الخط الذي يقترب منه المنحنى دون أن يلمسه يسمى خط تقارب.
- 1The curve gets closer and closer to x = 0 but never meets it
- 2x = 0 is an asymptote
Answerasymptote
الجزء (bi) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الشبكة تُظهر منحنى الدالة د. ارسم على الشبكة نفسها التمثيل البياني للمعادلة ص تساوي س ناقص اثنين، لقيم س من سالب ثلاثة إلى ثلاثة.
كيف تحلّه؟
المعادلة من الدرجة الأولى فتمثيلها مستقيم. عوِّض بثلاث قيم لـ س على الأقل، منها طرفا المدى والصفر، واطرح اثنين لتحصل على ص. عيِّن النقاط وصِلها بخط مستقيم بالمسطرة على المدى كله. هذا الخط يُستعمل عادة بعد ذلك لحل معادلة بقراءة نقاط تقاطعه مع المنحنى.
- 1Points: (−3, −5), (0, −2), (3, 1)
- 2Plot them and join with a ruled straight line
AnswerCorrect ruled line y = x − 2 from (−3, −5) to (3, 1)
الجزء (bii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إيجاد قيمة س التي تتساوى عندها قيمة الدالة مع قيمة المقدار الخطي المعطى، باستخدام الرسم.
كيف تحلّه؟
الطرف الأيمن هو معادلة خط مستقيم، فارسمه على الشبكة بتعيين نقطتين عليه. ثم حدّد نقطة تقاطعه مع المنحنى واقرأ قيمة س عندها. تحقق بالتعويض أن القيمتين متساويتان فعلًا.
- 1The line y = x − 2 crosses the curve at x = 1
Answer1
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أمامك رسم بياني لدالة فيها ثابت مجهول. «استخدم الرسم البياني لتبيّن أن» تعني أن تأخذ معلومة من الرسم وتثبت بها قيمة الثابت المعطاة، مع إظهار خطوات الإثبات.
كيف تحلّه؟
اختر نقطة واضحة تقع على المنحنى وتقرأ إحداثيتيها بدقة من الشبكة. عوّض بإحداثيتيها في قانون الدالة لتحصل على معادلة في الثابت فقط، ثم حلّها. انتبه للإشارات عند القسمة على عدد سالب.
- 1(−1, 3) is on the graph
- 23 = (−1)² − c/(−1)
- 33 = 1 + c
- 4c = 2
AnswerSubstituting a point on the graph, e.g. (−1, 3): 3 = (−1)² − c/(−1) = 1 + c, so c = 2
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المعادلة تساوي بين الدالة المعرّفة في أول السؤال والمقدار الخطّي المعطى. المطلوب إعادة كتابتها على الصورة المعطاة، ثم استنتاج قيمتي الثابتين المجهولين بمقارنة المعاملات.
كيف تحلّه؟
اكتب تعريف الدالة مساويًا للمقدار المعطى، ثم اضرب الطرفين في س للتخلص من الكسر. انقل الحدود لتصبح على الصورة المطلوبة تمامًا، بحيث يبقى العدد الثابت وحده في طرف. قارن معامل كل قوة للمجهول لتقرأ قيمة كل ثابت. انتبه للإشارات عند نقل الحدود.
- 1x² − 2/x = x − 2
- 2Multiply by x: x³ − 2 = x² − 2x
- 3x³ − x² + 2x = 2
- 4p = −1, q = 2
Answerp = −1, q = 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات بالطرق البيانية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات بالطرق البيانية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara