حل السؤال 8، 0580/42 فبراير/مارس 2021: حجم ومساحة سطح المخروط
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته عند المركز. المطلوب «أثبت أن» مساحة القطاع تساوي القيمة المكتوبة مقرّبة لمنزلة عشرية واحدة، أي أن تكتب خطوات الحساب كاملة وتُظهر الناتج بدقة أكبر من القيمة المعطاة قبل التقريب.
كيف تحلّه؟
مساحة القطاع جزء من مساحة الدائرة الكاملة بنسبة زاوية القطاع إلى الزاوية الكاملة حول المركز. نضرب هذه النسبة في مساحة الدائرة باستخدام نصف القطر المعطى. يجب كتابة الناتج بمنازل عشرية أكثر قبل التقريب، لأن كتابة القيمة المطلوبة نفسها فقط لا تكفي للإثبات.
- 1Area = 53/360 × π × 9.5²
- 2= 41.74… ≈ 41.7 cm²
Answer41.74 to 41.75
الجزء (aii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى قطاع دائري بنصف قطره وزاويته ومساحته، وعلى ضلعيه نقطتان على البعد نفسه من المركز تكوّنان مثلثًا مع المركز. مساحة هذا المثلث جزء معلوم من مساحة القطاع. المطلوب أن تحسب طول المسافة من المركز إلى إحدى النقطتين، مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
أوجد أولًا مساحة المثلث بأخذ الجزء المطلوب من مساحة القطاع. المثلث له ضلعان متساويان مجهولان بينهما زاوية القطاع، فاستعمل قانون المساحة: نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. كوّن معادلة في مربع الطول المجهول وحلّها، ثم خذ الجذر التربيعي. الخطأ الشائع نسيان أخذ الجذر في النهاية.
- 1Sector area = 53/360 × π × 9.5² = 41.74…
- 2Triangle area = 1/3 × 41.74… = 13.91…
- 31/2 × OA × OA × sin 53 = 13.91…
- 4OA² = 2 × 13.91… ÷ sin 53 = 34.84…
- 5OA = √34.84… = 5.90
Answer5.90 or 5.899 to 5.903
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
لديك قطاع دائري معلوم نصف قطره وزاويته، ويُلف ليصنع مخروطًا بحيث يلتقي حداه المستقيمان. المطلوب حساب حجم هذا المخروط. صيغة حجم المخروط مكتوبة لك في السؤال.
كيف تحلّه؟
طول قوس القطاع يصبح محيط قاعدة المخروط، فاحسب طول القوس ثم استنتج منه نصف قطر القاعدة. نصف قطر القطاع يصبح الراسم (الارتفاع الجانبي) للمخروط. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع العمودي من الراسم ونصف قطر القاعدة، ثم عوّض في صيغة الحجم. الخطأ الشائع: استخدام نصف قطر القطاع نصفَ قطرٍ للقاعدة أو ارتفاعًا للمخروط.
- 1Arc length = 60/360 × 2 × π × 24 = 8π
- 2Base circumference 2πr = 8π so r = 4 cm
- 3Slant height = 24 cm
- 4h = √(24² − 4²) = √560 = 23.66…
- 5V = 1/3 × π × 4² × 23.66…
- 6V = 396.4… ≈ 396 cm³
Answer396 or 397 or 396.4 to 396.6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم ومساحة سطح المخروط بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم ومساحة سطح المخروط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara