حل السؤال 5، 0580/42 فبراير/مارس 2022: تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 18 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطيك كتل مئة وعشرين رسالة بالجرام، موزعة على فئات مع تكرار كل فئة. المطلوب تقدير الوسط الحسابي للكتلة. اكتب خطوات الحل، وقرّب الناتج تقريبًا معقولًا.
كيف تحلّه؟
نحسب مركز كل فئة بجمع حديها وقسمة الناتج على اثنين. نضرب كل مركز في تكرار فئته ونجمع هذه النواتج. نقسم المجموع على العدد الكلي للرسائل. الخطأ الشائع هو القسمة على عدد الفئات بدل مجموع التكرارات.
- 1Midpoints: 25, 75, 150, 350
- 2Σfx = 43×25 + 31×75 + 25×150 + 21×350 = 1075 + 2325 + 3750 + 7350 = 14500
- 3Mean = 14500 ÷ 120 = 120.83… ≈ 121 g
Answer121 or 120.8… or 120 5/6
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطي كتل الرسائل في فئات أطوالها مختلفة. رسم إيراج مدرجًا تكراريًا وجعل ارتفاع العمود الأول بطول معيّن بالسنتيمتر. المطلوب حساب ارتفاع كل عمود من الأعمدة الباقية بالسنتيمتر.
كيف تحلّه؟
احسب الكثافة التكرارية لكل فئة بقسمة التكرار على طول الفئة. ثم اعرف مقياس الرسم: كم سنتيمترًا يقابل كل وحدة من الكثافة، بقسمة ارتفاع العمود الأول على كثافته. اضرب كثافة كل فئة باقية في هذا المقياس. الفخ هو التناسب مع التكرار بدل الكثافة التكرارية.
- 1Frequency densities: 43/50 = 0.86, 31/50 = 0.62, 25/100 = 0.25, 21/300 = 0.07
- 2Scale: 17.2 ÷ 0.86 = 20 cm per unit
- 3Heights: 0.62 × 20 = 12.4 cm, 0.25 × 20 = 5 cm, 0.07 × 20 = 1.4 cm
Answer50 < m ≤ 100: 12.4 cm; 100 < m ≤ 200: 5 cm; 200 < m ≤ 500: 1.4 cm
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك جدول تكراري لكتل عدد من الرسائل بالجرام. المطلوب: أكمل جدول التكرار التجميعي، أي عدد الرسائل التي كتلتها لا تزيد على كل حد مذكور.
كيف تحلّه؟
التكرار التجميعي مجموع جارٍ: الخانة الأولى هي التكرار الأول نفسه، ثم تضيف إلى كل خانة تكرار الفئة التالية. آخر خانة يجب أن تساوي العدد الكلي للرسائل، وهذا تحقق سريع من صحة الحساب.
- 1Cumulative frequency is a running total: keep adding the next frequency.
- 2m ≤ 50: 43
- 3m ≤ 100: 43 + 31 = 74
- 4m ≤ 200: 74 + 25 = 99
- 5m ≤ 500: 99 + 21 = 120
Answer| m ≤ 50 | m ≤ 100 | m ≤ 200 | m ≤ 500 | | 43 | 74 | 99 | 120 |
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام بيانات كتل الرسائل، المطلوب: ارسم منحنى التكرار التجميعي على الشبكة المعطاة، والمحور الأفقي للكتلة والرأسي للتكرار التجميعي.
كيف تحلّه؟
عيّن النقاط بحيث تكون الكتلة هي الحد الأعلى لكل فئة، والارتفاع هو التكرار التجميعي المقابل، وابدأ من نقطة الصفر. ثم صل النقاط بمنحنى متصاعد أملس أو بقطع مستقيمة. الفخ الشائع: تعيين النقاط عند منتصف الفئات بدلًا من حدودها العليا.
- 1Plot (0, 0), (50, 43), (100, 74), (200, 99), (500, 120) at the upper class boundaries
- 2Join with a smooth increasing curve (or straight lines)
AnswerCorrect diagram
الجزء (ei) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطي كتل مجموعة من الرسائل، ومنه رُسم منحنى التكرار التجميعي. المطلوب أن تستخدم هذا المنحنى لتقدير الوسيط، أي الكتلة التي تقع في منتصف الرسائل عند ترتيبها. كلمة «تقدير» تعني أن القراءة من الرسم تكفي ولا يُطلب حساب دقيق.
كيف تحلّه؟
نجد موقع الوسيط بقسمة العدد الكلي للرسائل على اثنين. ثم نبدأ من هذه القيمة على محور التكرار التجميعي، ونتحرك أفقيًا حتى نلمس المنحنى، ثم ننزل رأسيًا إلى محور الكتلة ونقرأ القيمة. انتبه أن تقرأ من المحور الصحيح وأن تراعي مقياس الرسم.
- 1Median position = 120 ÷ 2 = 60
- 2Read across from cumulative frequency 60 to the curve and down to the mass axis
Answer76 (accept 72 to 80)
الجزء (eii) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام منحنى التكرار التجميعي نفسه، المطلوب تقدير الربيع الأعلى، وهو القيمة التي تقع تحتها ثلاثة أرباع الرسائل. القراءة من الرسم تكفي.
كيف تحلّه؟
نجد موقع الربيع الأعلى بأخذ ثلاثة أرباع العدد الكلي للرسائل. نبدأ من هذه القيمة على محور التكرار التجميعي، ونتحرك أفقيًا إلى المنحنى ثم ننزل إلى محور الكتلة ونقرأ. الخطأ الشائع هو أخذ ربع العدد فقط، وهذا يعطي الربيع الأدنى لا الأعلى.
- 1Upper quartile position = 3/4 × 120 = 90
- 2Read across from cumulative frequency 90 to the curve and down to the mass axis
Answer158 (accept 150 to 170)
الجزء (eiii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تقدير المئين الأربعين من منحنى التكرار التجميعي، أي الكتلة التي تقع تحتها أربعون في المئة من الرسائل.
كيف تحلّه؟
نحسب أربعين في المئة من العدد الكلي للرسائل فنحصل على موقع المئين على محور التكرار التجميعي. ثم نتحرك أفقيًا إلى المنحنى وننزل إلى محور الكتلة ونقرأ القيمة. لا تخلط بين النسبة المئوية نفسها والكتلة المقروءة من المحور.
- 140% of 120 = 48
- 2Read across from cumulative frequency 48 to the curve and down to the mass axis
Answer58 (accept 55 to 61)
الجزء (eiv) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تقدير عدد الرسائل التي تقع كتلتها بين قيمتين محددتين في السؤال، باستخدام منحنى التكرار التجميعي. لاحظ أن المطلوب «عدد رسائل» وليس كتلة.
كيف تحلّه؟
نبدأ هذه المرة من محور الكتلة: نصعد من كل قيمة من القيمتين إلى المنحنى، ثم نتحرك أفقيًا إلى محور التكرار التجميعي ونقرأ. عدد الرسائل المطلوب هو الفرق بين القراءتين: القراءة عند الكتلة الأكبر مطروحًا منها القراءة عند الكتلة الأصغر. الخطأ الشائع هو الاكتفاء بقراءة واحدة.
- 1Read up from m = 400 and from m = 250 to the curve and across to the cumulative frequency axis
- 2Number = (reading at 400) − (reading at 250)
Answer11 (accept 9 to 13)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس تقدير المتوسط للبيانات المجمعة بالعربي
تدرّب على أسئلة تقدير المتوسط للبيانات المجمعة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara