حل السؤال 6، 0580/42 فبراير/مارس 2022: إثبات تشابه المثلثات
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مُعطى قياس الزاوية الداخلية لمضلّع منتظم. المطلوب أن تحسب عدد أضلاعه، مع إظهار خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
نجد الزاوية الخارجية أولًا بطرح الزاوية الداخلية من مئة وثمانين درجة. ثم نقسم ثلاثمئة وستين على الزاوية الخارجية فنحصل على عدد الأضلاع. الخطأ الشائع هو قسمة ثلاثمئة وستين على الزاوية الداخلية مباشرة.
- 1Exterior angle = 180 − 156 = 24°
- 2Number of sides = 360 ÷ 24 = 15
Answer15
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط على دائرة مركزها معلوم، وزاوية بين نصف قطر ووتر معطاة. المطلوب حساب الزاوية المحيطية المحددة في السؤال.
كيف تحلّه؟
نصفا القطر متساويان، فالمثلث المكوّن منهما ومن الوتر متطابق الضلعين، وزاويتا القاعدة فيه متساويتان. اطرح الزاويتين من مئة وثمانين لتحصل على الزاوية عند المركز. ثم الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه تساوي نصف الزاوية المركزية.
- 1OA = OB, so angle OAB = 52°; angle AOB = 180 − 2 × 52 = 76°
- 2Angle ACB = 76 ÷ 2 = 38° (angle at the centre is twice the angle at the circumference)
Answer38
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل خمس نقاط على دائرة، وخط مستقيم يمتد خارج الدائرة ومعطى قياس زاوية خارجية عليه. المطلوب «احسب» قياس زاوية محيطية أخرى في الدائرة.
كيف تحلّه؟
أولًا نجد الزاوية الداخلية المجاورة للزاوية المعطاة لأن الزوايا على خط مستقيم مجموعها مئة وثمانون درجة. ثم نلاحظ أن الزاوية المطلوبة والزاوية التي وجدناها مرسومتان على القوس نفسه، والزوايا المحيطية في القطعة نفسها متساوية.
- 1Angle RSP = 180 − 112 = 68° (angles on a straight line)
- 2Angle PTR = angle PSR = 68° (angles in the same segment)
Answer68
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في الشكل دائرة مركزها معلوم، ومماس للدائرة، وقطعة مستقيمة توازي وترًا. المطلوب «أثبت» أن المثلث الصغير داخل الدائرة يشابه المثلث الواقع خارجها، مع ذكر سبب هندسي لكل عبارة تكتبها، مثل «الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة».
كيف تحلّه؟
لاحظ أن الوتر المار بالمركز قطر، فالزاوية المقابلة له في المثلث الداخلي قائمة لأنها مرسومة في نصف دائرة. والمماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فالمثلث الخارجي فيه زاوية قائمة أيضًا. ثم استخدم التوازي لتجد زاويتين متبادلتين متساويتين. زوجان من الزوايا المتساوية يكفيان لإثبات التشابه، والفخ الشائع هو كتابة العبارة دون سببها الهندسي فتضيع الدرجة.
- 1Angle KMG = 90° (angle in a semicircle, KG is a diameter)
- 2Angle OGH = 90° (tangent is perpendicular to the radius)
- 3Angle MGK = angle GOH (alternate angles, MG parallel to OH)
- 4Two pairs of equal angles, so triangle GKM is similar to triangle OHG
AnswerTwo pairs of equal angles identified with fully correct reasons, so the triangles are similar (e.g. angle KMG = 90° (angle in a semicircle) and angle OGH = 90° (angle between tangent and radius); angle GOH = angle MKG (alternate angles))
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس إثبات تشابه المثلثات بالعربي
تدرّب على أسئلة إثبات تشابه المثلثات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara