حل السؤال 8، 0580/32 فبراير/مارس 2023: المتتابعات التربيعية والتكعيبية
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 32 (Core) · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (ai) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة رتبة التماثل الدوراني للمستطيل المرسوم، أي عدد المرات التي يبدو فيها كما هو خلال دورة كاملة. عبارة «اكتب» تعني أن الإجابة مباشرة بلا حاجة لخطوات حل.
كيف تحلّه؟
دوّر الشكل حول مركزه دورة كاملة، وعُدّ المواضع التي ينطبق فيها على نفسه، مع مراعاة الشريطين الرماديين على الجانبين. الشكل ينطبق على نفسه بعد نصف دورة وبعد الدورة الكاملة. الفخ: الدوران ربع دورة لا ينفع لأن المستطيل ليس مربعًا.
- 1The diagram looks the same after a half turn and a full turn
- 2Order of rotational symmetry = 2
Answer2
الجزء (aii) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك مستطيل طوله أكبر من عرضه، وعلى حافتيه اليمنى واليسرى شريطان رماديان ضيقان. المطلوب أن ترسم على الشكل كل خطوط التماثل، أي الخطوط التي يكون الشكل على جانبيها صورة مرآة متطابقة مع مراعاة التظليل.
كيف تحلّه؟
الشريطان متماثلان يمينًا ويسارًا، لذلك يوجد خط تماثل رأسي يمر بمنتصف المستطيل. والشكل متطابق من أعلى ومن أسفل، فيوجد أيضًا خط أفقي يمر بالمنتصف. الفخ الشائع هو رسم القطرين، لكن قطر المستطيل غير المربع ليس خط تماثل.
- 1Draw a vertical line through the middle of the rectangle
- 2Draw a horizontal line through the middle of the rectangle
Answer2 lines of symmetry drawn
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
ترى أول ثلاثة أشكال في متتابعة، كل شكل مربع مكوّن من مربعات صغيرة رمادية وبيضاء مرتبة في أعمدة. المطلوب أن ترسم الشكل الرابع على الشبكة بنفس القاعدة.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن عرض الشكل وارتفاعه يزيدان مربعًا واحدًا في كل مرة. العمودان على الطرفين رماديان دائمًا، وكل الأعمدة بينهما بيضاء، فيزيد عدد الأعمدة البيضاء واحدًا في كل شكل. ارسم الشكل الرابع أكبر من الثالث بصف وعمود، مع الحفاظ على العمودين الرماديين على الطرفين.
- 1Diagram 4 is 6 squares wide and 6 squares high
- 2Columns: grey, white, white, white, white, grey
AnswerCorrect diagram drawn
الجزء (biia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
انظر إلى الأشكال وعدد الأعمدة الرمادية في كل منها. المطلوب إكمال العبارة: كم عمودًا رماديًا في الشكل رقم ن، أي في أي شكل من المتتابعة؟ هذا سؤال يكفي فيه كتابة الجواب.
كيف تحلّه؟
لاحظ مكان الأعمدة الرمادية في كل شكل: يوجد عمود رمادي واحد على كل طرف، ويتغير عدد الأعمدة البيضاء فقط. لذلك عدد الأعمدة الرمادية ثابت لا يعتمد على ن.
- 1Every diagram has one grey column on each side
- 2Diagram n has 2 grey columns
Answer2
الجزء (biib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة «تعبير بدلالة ن»، أي صيغة جبرية فيها ن، تعطي العدد الكلي للأعمدة في الشكل رقم ن.
كيف تحلّه؟
عُدّ الأعمدة في الأشكال الأولى ولاحظ أنها تزيد بواحد مع كل شكل. قارن عدد الأعمدة برقم الشكل، فتجد أنه يزيد عنه دائمًا بالمقدار نفسه، فاكتب ن مضافًا إليها هذا المقدار.
- 1Diagrams 1, 2, 3 have 3, 4, 5 columns: always 2 more than n
- 2Total columns = n + 2
Answern + 2
الجزء (biic) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تعبير جبري بدلالة «ن» يعطي الكسر الذي يمثل نسبة الأعمدة الرمادية إلى جميع الأعمدة في الشكل رقم «ن».
كيف تحلّه؟
عدد الأعمدة الرمادية ثابت في كل الأشكال. عدد الأعمدة الكلي يساوي عرض الشكل، وهو يزيد على رقم الشكل بمقدار ثابت، فاكتبه بدلالة «ن». الكسر هو عدد الأعمدة الرمادية مقسومًا على عدد الأعمدة الكلي. الفخ: كتابة نسبة الرمادي إلى الأبيض بدل الرمادي إلى الكل.
- 1Fraction grey = grey columns ÷ total columns
- 2= 2/(n + 2)
Answer2/(n+2)
الجزء (biiia) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الجدول يعطي عدد المربعات الرمادية والبيضاء والكلية للأشكال الثلاثة الأولى. المطلوب إكمال الجدول للشكلين الرابع والخامس.
كيف تحلّه؟
كل شكل مربع طول ضلعه يزيد عن رقم الشكل باثنين، فالعدد الكلي هو مربع طول الضلع. المربعات الرمادية عموديان طول كل منهما يساوي طول الضلع. وعدد البيضاء هو الكلي مطروحًا منه الرمادي. الفخ: إطالة النمط من الجدول دون التحقق من شكل الرسم.
- 1Diagram 4 is 6 × 6: total = 36, grey = 2 × 6 = 12, white = 36 − 12 = 24
- 2Diagram 5 is 7 × 7: total = 49, grey = 2 × 7 = 14, white = 49 − 14 = 35
- 3Grey: 12, 14; White: 24, 35; Total: 36, 49
Answer| Number of grey squares | 12 | 14 | | Number of white squares | 24 | 35 | | Total number of squares | 36 | 49 |
الجزء (biiib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب كتابة تعبير جبري بدلالة ن يعطي عدد المربعات الرمادية في الشكل رقم ن.
كيف تحلّه؟
في كل شكل عمودان رماديان، وارتفاع كل عمود يساوي طول ضلع الشكل الذي يزيد عن ن باثنين. اضرب عدد الأعمدة في الارتفاع ثم فك الأقواس. ويمكنك التحقق بأن عدد الرمادي يزيد باثنين مع كل شكل كما في الجدول.
- 1Grey squares go up by 2 each time: 6, 8, 10, …
- 22 grey columns each n + 2 high: 2(n + 2)
- 3= 2n + 4
Answer2n + 4
الجزء (biiic) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قاعدة تحسب عدد المربعات البيضاء في أي شكل بدلالة رقم الشكل. المطلوب: احسب عدد المربعات البيضاء في الشكل الثلاثين.
كيف تحلّه؟
نعوّض رقم الشكل مكان الرمز في القاعدة. نجمع أولًا ما داخل القوسين، ثم نضرب الناتج في رقم الشكل.
- 1n(n + 2) with n = 30: 30 × (30 + 2)
- 2= 30 × 32 = 960
Answer960
الجزء (biiid) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك نمط من الأشكال المكوّنة من مربعات صغيرة، والعدد الكلي للمربعات في أحد الأشكال معلوم. المطلوب إيجاد رقم هذا الشكل في النمط. كلمة «احسب» تعني أن تكتب خطوات الوصول إلى الجواب.
كيف تحلّه؟
لاحظ أن عرض كل شكل وارتفاعه يزيدان على رقم الشكل باثنين، فالعدد الكلي للمربعات هو مربع (رقم الشكل مضافًا إليه اثنان). خذ الجذر التربيعي للعدد الكلي ثم اطرح اثنين. الخطأ الشائع: نسيان طرح الاثنين والاكتفاء بالجذر.
- 1Total squares = (k + 2)² = 1296
- 2k + 2 = √1296 = 36
- 3k = 34
Answer34
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات التربيعية والتكعيبية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات التربيعية والتكعيبية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara