حل السؤال 6، 0580/42 مايو/يونيو 2021: قانون الجيب
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل رباعي مكوّن من مثلثين يفصل بينهما قطر. في المثلث الأول معلوم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما. المطلوب أن «تبيّن» أن طول القطر يساوي القيمة المعطاة مقرّبة إلى منزلة عشرية واحدة، أي أن تثبت الناتج المعطى بخطوات واضحة.
كيف تحلّه؟
نطبّق قاعدة جيب التمام في المثلث الأول باستخدام الضلعين المعلومين والزاوية بينهما، ثم نأخذ الجذر التربيعي. اكتب الناتج بأكثر من منزلة عشرية قبل تقريبه، لأن كتابة القيمة المعطاة وحدها لا تكفي للإثبات.
- 1BD² = 16² + 19² − 2 × 16 × 19 × cos 57°
- 2BD² = 285.8…
- 3BD = 16.90… = 16.9 m (1 d.p.)
Answer√(16² + 19² − 2 × 16 × 19 cos 57) = 16.90 to 16.91
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الرباعي مكوّن من مثلثين يفصل بينهما قطر. المطلوب: احسب قياس الزاوية المحددة في المثلث الثاني، مع إظهار خطواتك وتقريب الناتج. ستحتاج طول القطر الذي حسبته في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
في المثلث الثاني نعرف ضلعًا والزاوية المقابلة له، ونعرف القطر، فنستخدم قاعدة الجيب لإيجاد الزاوية المقابلة للقطر أولًا. ثم نطرح الزاويتين المعروفتين من مئة وثمانين لنحصل على الزاوية المطلوبة. استخدم طول القطر غير المقرّب، وانتبه أن الزاوية التي تخرج من قاعدة الجيب ليست هي المطلوبة مباشرة.
- 1sin BCD = 16.9 × sin 75° ÷ 32
- 2Angle BCD = 30.67…°
- 3Angle CBD = 180 − 75 − 30.67… = 74.32… ≈ 74.3°
Answer74.3 or 74.30 to 74.33
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل الرباعي مكوَّن من مثلثين يفصل بينهما القطر ب د. معطاة أطوال وزوايا في الشكل. المطلوب مساحة الشكل الرباعي كله، أي مجموع مساحتي المثلثين.
كيف تحلّه؟
مساحة المثلث الأول من قانون نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. للمثلث الثاني تحتاج طول القطر ب د (من قانون جيب التمام في المثلث الأول) ثم قانون الجيوب لإيجاد زاوية، فالزاوية المحصورة بين ب د و ب ج. ثم طبّق قانون المساحة نفسه واجمع المساحتين. الفخ: استعمال زاوية غير محصورة بين الضلعين، أو التقريب المبكر للقطر.
- 1Triangle ABD = 1/2 × 16 × 19 × sin 57° = 127.47…
- 2Triangle BCD = 1/2 × 16.9 × 32 × sin 74.32…° = 260.3…
- 3Area = 127.47… + 260.3… = 387.8… ≈ 388 m²
Answer388 or 387.7 to 387.9…
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «أقصر مسافة» من الرأس المحدد إلى الضلع المحدد في المثلث الأول، وهي طول العمود النازل من الرأس على ذلك الضلع. كلمة «أوجد» هنا تعني احسب مع إظهار الخطوات.
كيف تحلّه؟
ننزل عمودًا من الرأس على الضلع فيتكوّن مثلث قائم وتره الضلع المعلوم الخارج من الرأس نفسه. العمود يساوي هذا الوتر مضروبًا في جيب الزاوية المعلومة عند الطرف الآخر.
- 1Shortest distance is perpendicular to AD: d/16 = sin 57°
- 2d = 16 × sin 57° = 13.41… ≈ 13.4 m
Answer13.4 or 13.41 to 13.42
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون الجيب بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون الجيب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara