حل السؤال 5، 0580/42 مايو/يونيو 2021: التعبير عن المتجهات بدلالة a و b
Cambridge IGCSE Mathematics 0580 · Paper 42 (Extended) · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (aia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك متجهان عموديان معلومان، والمطلوب «أوجد» ناتج طرح المتجه الأول من المتجه الثاني. لاحظ الترتيب: الثاني أولًا ثم نطرح منه الأول.
كيف تحلّه؟
نطرح كل مركبة من المتجه الأول من المركبة المقابلة لها في الثاني، العليا من العليا والسفلى من السفلى. الفخ الشائع: عكس ترتيب الطرح، أو نسيان أن طرح عدد سالب يصبح جمعًا.
- 1b − a = (2 − (−3), −5 − 8) = (5, −13)
Answercolumn vector (5, −13)
الجزء (aib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
لديك متجهان عموديان معلومان، والمطلوب «أوجد» ضعف المتجه الأول مضافًا إليه المتجه الثاني، واكتب الناتج متجهًا عموديًا.
كيف تحلّه؟
نضرب أولًا كل مركبة في المتجه الأول في اثنين. ثم نجمع الناتج مع المتجه الثاني مركبةً مع مركبة. انتبه للإشارات السالبة عند الضرب والجمع.
- 12a = (−6, 16)
- 22a + b = (−6 + 2, 16 − 5) = (−4, 11)
Answercolumn vector (−4, 11)
الجزء (aic) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الخطان العموديان حول اسم المتجه يعنيان «مقدار» المتجه، أي طوله. المطلوب إيجاد طول المتجه الثاني المعطى، مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية إن لم يكن عددًا صحيحًا.
كيف تحلّه؟
نربّع كل مركّبة من مركّبتي المتجه ونجمع المربعين، ثم نأخذ الجذر التربيعي للمجموع، كما في نظرية فيثاغورس. مربع العدد السالب موجب دائمًا. نقرّب الناتج لثلاثة أرقام معنوية، ونحذر من اختيار المتجه الأول بالخطأ.
- 1|b| = √(2² + (−5)²) = √29
- 2= 5.385… ≈ 5.39
Answer5.39 or 5.385…
الجزء (aii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطى متجهان عموديان، ومجموع الأول مع مضاعف للثاني يساوي متجهًا فيه عدد معلوم وعدد مجهول. المطلوب إيجاد قيمة المضاعف وقيمة المركبة المجهولة، وكلاهما عدد صحيح. اعرض خطوات الحل.
كيف تحلّه؟
قارن المركبتين كلًّا على حدة. من المركبة العليا تحصل على معادلة فيها المضاعف وحده، فحلّها. ثم عوّض بقيمته في المركبة السفلى لتحسب المركبة المجهولة. انتبه للإشارات عند ضرب عدد موجب في عدد سالب.
- 1x: −3 + 2k = 13, so k = 8
- 2y: m = 8 − 5 × 8 = −32
- 3k = 8, m = −32
Answerk = 8, m = −32
الجزء (bia) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
لديك متوازي أضلاع أحد رؤوسه نقطة الأصل، ومعطى متجها الضلعين الخارجين منها. المطلوب كتابة متجه القطر من الأصل إلى الرأس المقابل بدلالة المتجهين، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
امشِ من الأصل على الضلع الأول ثم على الضلع المجاور الذي يصل إلى الرأس المقابل. في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متساويان ومتوازيان، فهذا الضلع المجاور يساوي متجه الضلع الثاني الخارج من الأصل. القطر إذن مجموع المتجهين.
- 1→OB = →OA + →AB = p + q
Answerp + q
الجزء (bib) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في متوازي الأضلاع، رأس منه هو نقطة الأصل، والمتجهان على الضلعين الخارجين منها معلومان. النقطة المذكورة هي منتصف القطر الخارج من نقطة الأصل. المطلوب المتجه من الرأس العلوي الأيسر إلى هذه النقطة، بدلالة المتجهين، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نسلك طريقًا معروفًا: من الرأس العلوي الأيسر نعود إلى نقطة الأصل، وهذا عكس المتجه الثاني فيأخذ إشارة سالبة. ثم من نقطة الأصل إلى المنتصف، وهو نصف القطر، والقطر مجموع المتجهين. نجمع الحدود المتشابهة لنبسّط.
- 1→CM = →CO + →OM = −q + 1/2(p + q)
- 2= 1/2 p − 1/2 q
Answer1/2p − 1/2q or 1/2(p − q) or (p − q)/2
الجزء (bic) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في متوازي الأضلاع نفسه، نقطة على الضلع الأيمن تقسمه بنسبة معطاة. المطلوب المتجه من منتصف القطر إلى هذه النقطة، بدلالة المتجهين المعطيين، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نذهب من المنتصف إلى الرأس العلوي الأيمن، وهو نصف القطر. ثم ننزل من هذا الرأس إلى النقطة على الضلع، وهو جزء من الضلع بحسب النسبة وفي الاتجاه المعاكس للمتجه الثاني فيأخذ إشارة سالبة. نجمع ونبسّط. الفخ الشائع: أخذ الجزء الأكبر من النسبة بدل الجزء الأقرب إلى الرأس العلوي.
- 1→BN = −2/5 q
- 2→MN = →MB + →BN = 1/2(p + q) − 2/5 q
- 3= 1/2 p + 1/10 q
Answer1/2p + 1/10q or (5p + q)/10
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
عند مدّ الضلع العلوي لمتوازي الأضلاع والخط الخارج من نقطة الأصل نحو النقطة على الضلع الأيمن، يلتقيان في نقطة جديدة. المطلوب «متجه الموضع» لهذه النقطة، أي المتجه من نقطة الأصل إليها، بدلالة المتجهين، وفي أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نكتب أولًا المتجه من نقطة الأصل إلى النقطة على الضلع الأيمن، ونقطة الالتقاء على امتداده فمتجهها مضاعف له. ونقطة الالتقاء أيضًا على الضلع العلوي، فجزء المتجه الثاني فيها يساوي المتجه الثاني كاملًا. نساوي بين الجزأين لنجد المضاعف، ثم نكتب متجه الموضع.
- 1→ON = p + 3/5 q, so D = λ(p + 3/5 q)
- 2D is on CB, where the q-part is q: 3/5 λ = 1, λ = 5/3
- 3Position vector of D = 5/3 p + q
Answer5/3p + q or (5p + 3q)/3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التعبير عن المتجهات بدلالة a و b بالعربي
تدرّب على أسئلة التعبير عن المتجهات بدلالة a و b
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara